Question

20．如圖，在光滑水平桌面上，小物塊P₁、P₂分別靜止在A，B點(diǎn)，P₁的質(zhì)量為2m，P₂的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的細(xì)線一端固定在桌面上的O點(diǎn)、另一端系著P₂，開始時(shí)細(xì)線繃直且處于垂直于AB連線的方向上，細(xì)線能承受的最大拉力為F₀．光電計(jì)時(shí)器用來監(jiān)控AB連線上的C點(diǎn)并可記錄P₁、P₂通過C點(diǎn)的時(shí)間差，BC距離也為l，．現(xiàn)將一大小為$\frac{F_0}{2}$的水平恒力F作用在P₁上，P₁沿AB方向加速一段距離后撤去該力，之后P₁與P₂發(fā)生碰撞且碰后P₁總以碰前P₁的一半速度同向運(yùn)動(dòng)．
（1）若P₁、P₂碰撞時(shí)，細(xì)線恰好斷裂，求恒力F作用過程P₁的位移L與l之間的關(guān)系．
（2）若P₁、P₂碰撞后，P₂先繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周，在細(xì)線碰到OB中點(diǎn)O 處的釘子時(shí)細(xì)線恰好斷裂，此后P₂沿BC方向飛出，求光電計(jì)時(shí)器記錄到的時(shí)間差t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出P₁碰撞前的速度表達(dá)式，結(jié)合動(dòng)量守恒求出碰撞后P₂的速度，結(jié)合拉力提供向心力，求出恒力F作用過程P₁的位移L與l之間的關(guān)系．
（2）抓住繩子恰好斷裂，根據(jù)牛頓第二定律求出速度的大小，根據(jù)動(dòng)量守恒求出碰撞后P₂的速度，從而結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出光電計(jì)時(shí)器記錄到的時(shí)間差t．

解答 解：（1）設(shè)碰撞前P₁的速度為v₀，碰撞后P₂的速度為v，碰撞過程中動(dòng)量守恒，則
$2m{v}_{0}=2m\frac{{v}_{0}}{2}+mv$…①
若P₁P₂碰撞時(shí)，細(xì)線剛好斷裂，則：
${F}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{l}$…②
根據(jù)動(dòng)能定理有：$\frac{{F}_{0}}{2}L=\frac{1}{2}2m{{v}_{0}}^{2}$…③
聯(lián)立①②③得，L=2l…④
（2）設(shè)碰撞前P₁的速度為v₀′，碰撞后P₂的速度為v′，碰撞過程動(dòng)量守恒，則：
$2m{v}_{0}′=2m\frac{{v}_{0}′}{2}+mv′$…⑤
細(xì)線碰到釘子O′時(shí)恰好斷裂，則：
${F}_{0}=m\frac{v{′}^{2}}{\frac{l}{2}}$…⑥
解得：$v′=\sqrt{\frac{{F}_{0}l}{2m}}$…⑦
P₂繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πl(wèi)}{v′}$…⑧
由題意可知：t=$T+\frac{l}{v′}-\frac{l}{\frac{{v}_{0}′}{2}}$…⑨
由⑤⑦⑧⑨解得：t=$（2π-1）\sqrt{\frac{2ml}{{F}_{0}}}$．
答：（1）恒力F作用過程P₁的位移L與l之間的關(guān)系為L(zhǎng)=2l．
（2）光電計(jì)時(shí)器記錄到的時(shí)間差為$（2π-1）\sqrt{\frac{2ml}{{F}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生要求較高，關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定好研究的對(duì)象，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．