Question

如圖所示，虛線 l_ll₂、將無重力場的空間分成三個區(qū)域，I 區(qū)內存在水平向右的勻強電場E和垂直紙面向里的勻強磁場B_l，Ⅱ區(qū)內以水平線 CO 為分界，上方存在著豎直向上的勻強電場E₂，下方存在著豎直向下的勻強電場E₃Ⅲ區(qū)內存在以l₂為左邊界、右邊無界的垂直紙面向里的勻強磁場B₂，在 I 區(qū)內有一段粗糙、長為 L 的水平放置塑料直管道 AC，一可視為質點的帶正電小球（直徑比管內徑略小）的質量為 m、帶電量為 q，現將小球從管道內 A 處由靜止釋放，運動至管道內離 A 點距離為 L₀ 的 B 點處時達到穩(wěn)定速度 v₀，后進入Ⅱ區(qū)向下偏轉，從邊界l₂上的 D 點進入Ⅲ區(qū)，此時速度方向與水平方向的夾角為β，最后小球恰能無碰撞的從 C處進入管道．已知：

q m

=0.01C/kg，E₁=l00N/C，E₂=E₃=300N/C，β=60⁰，B_l=10³T，L=5m L ₀=4m小球與管道間動摩擦因數為μ=0.1，求：
（ l ）小球在管道內運動的穩(wěn)定速度 v₀ 值；
（ 2 ）Ⅲ區(qū)內勻強磁場 B₂的值； 
（ 3 ）從 A 處開始至從 C 處進入管道的過程中，小球的運動時間t．

Answer 1

分析：（1）小球開始在管道內做加速直線運動，隨著速度的增加，洛倫茲力增大，摩擦力最大；當摩擦力和電場力相等時，小球開始做勻速直線運動．由力的平衡可求出小球在管道內運動的穩(wěn)定速度 v₀ 值．
（2）小球在Ⅱ區(qū)內做類平拋運動，利用運動學公式和牛頓運動定律可求出在電場方向上的位移d，在Ⅲ區(qū)中做勻速圓周運動，由幾何關系求出運動半徑R，洛倫茲力提供向心力，由牛頓運動定律列式可求出Ⅲ區(qū)的磁場強度．
（3）解決此問要仔細分析運動過程，把這個運動過程根據運動特點分段，計算出每段的時間便可求出總時間．

解答：解：
（1）小球在管道內達到穩(wěn)定速度時，合力為零，在水平方向上有：
         qE₁=μqv₀B₁
         解得：v0=

E1

μB1

=

100

0.1×103

=1m/s
（2）小球在從C到D的過程中，做類平拋運動，設加速度為a，在D點時豎直方向上的分速度為v_y，OD間的距離為d，在D點時，速度關系為：
         tanβ=

vy

v0

代入數據解得：
        vy=

3

m/s
在豎直方向上，由運動學公式有：
        

v

2 y

=2ad
由牛頓運動定律有：
         qE₃=ma
以上兩式聯立并代入數據得：
          d=0.5m
根據題意，為保證小球能無碰撞的從C處進入管道，小球在Ⅲ區(qū)內做勻速圓周運動的圓弧是關于CO對稱的，圓心O'必在CO的延長線上．（如圖所示）
由幾何關系得：
          R=

d

sin30°

=

0.5

0.5

=1m
          vD=

v 2 0 + v 2 y

=2m/s
小球在Ⅲ區(qū)內做勻速圓周運動的向心力是洛倫茲力，有：
         qvDB2=m

v 2 D

R

代入數據解得：
         B₂=200T
（3）小球從A點至B點的過程做變加速直線運動，設小球從A運動至B點所需要的時間為t₁，由牛頓第二定律得：
        qE1-μqvB1=m

△v

△t

由動量定理有：
∑（qE₁△t）-∑（μqvB₁△t）=∑（m△v）
        即為：qE₁t₁-μqB₁L₀=mv₀
帶入數據解得：t₁=5s
小球從B勻速運動到C所需的時間為：
         t2=

L-L0

v0

=

5-4

1

=1s
小球在Ⅱ區(qū)的運動總時間為：
         t3=

2vy

a

=1.15s
小球在Ⅲ區(qū)內運動時間為：
        t4=

5

6

T=

5πm

3qB2

=2.62s
則小球從A處開始至從C處進入管道的過程中，運動時間t為：
        t=t₁+t₂+t₃+t₄=9.77s
答：（1）小球在管道內運動的穩(wěn)定速度為1m/s．
    （2）Ⅲ區(qū)內勻強磁場 B₂的值為200T． 
    （3）從 A 處開始至從 C 處進入管道的過程中，小球的運動時間為9.77s．

點評：本題考查綜合運用牛頓定律、動能定理、運動學公式等知識的能力．
解答本題的關鍵是對小球的運動過程進行分段分析，分析每段中的受力情況和運動情況，必要時做出小球的運動軌跡，再進行細心的計算．
解答本題要求要有較強的物理問題分析能力和較強的計算力．