Question

粗糙絕緣的水平面附近存在一個(gè)平行于水平面的電場，其中某一區(qū)域的電場線與x軸平行，且沿x軸方向的電勢?與坐標(biāo)值x的關(guān)系如下表格所示：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x/m	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45
φ/105v	9.00	4.50	3.00	2.25	1.80	1.50	1.29	1.13	1.00

根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)可作出如右的?-x圖象．現(xiàn)有一質(zhì)量為0.10kg，電荷量為1.0×10^-7C帶正電荷的滑塊（可視作質(zhì)點(diǎn)），其與水平面的動(dòng)摩擦因素為0.20．問：
（1）由數(shù)據(jù)表格和圖象給出的信息，寫出沿x軸的電勢?與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式．
（2）若將滑塊無初速地放在x=0.10m處，則滑塊最終停止在何處？
（3）在上述第（2）問的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，它的加速度如何變化？當(dāng)它位于x=0.15m時(shí)它的加速度多大？
（4）若滑塊從x=0.60m處以初速度v₀沿-x方向運(yùn)動(dòng)，要使滑塊恰能回到出發(fā)點(diǎn)，其初速度v₀應(yīng)為多大？

Answer 1

分析：（1）電勢φ與坐標(biāo)x圖象是一條曲線，則φ與x關(guān)系可能是反比關(guān)系，即φ∝x^-1；也可能φ與x²關(guān)系可能是反比關(guān)系，即φ∝x^-2；…，依此類推，直到找到關(guān)系為止；
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)過程中，只有電場力和滑動(dòng)摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解即可；
（3）由于圖象的切線的斜率表示電場強(qiáng)度，故場強(qiáng)逐漸變小，電場力逐漸變小；
電場力大于摩擦力時(shí)，物體加速，當(dāng)電場力減小到等于摩擦力時(shí)，速度最大，此后電場力小于摩擦力，故物體開始減速，即滑塊先由靜到動(dòng)，后由動(dòng)到靜，故先加速后減速；
（4）滑塊運(yùn)動(dòng)到最左端位置時(shí)速度為零；滑塊向左運(yùn)動(dòng)過程中，電場力做負(fù)功，摩擦力做負(fù)功；滑塊向右運(yùn)動(dòng)過程中，電場力做正功，摩擦力做負(fù)功；對滑塊運(yùn)動(dòng)的全部過程和向右運(yùn)動(dòng)的過程分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可．

解答：解：（1）由數(shù)據(jù)表格和圖象可得，電勢?與x成反比關(guān)系，即φ=

k

x

；
當(dāng)x=0.1m時(shí)，電勢φ=4.5V，代入上述公式，得到k=4.5×10⁴
故沿x軸的電勢?與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式?=

4.5×104

x

V．
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)的全部過程中，只有電場力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理得
W_F+W_f=△E_K=0
設(shè)滑塊停止的位置為x₂，有
q（?₁-?₂）-μmg（x₂-x）=0
即q(

4.5×104

x

-

4.5×104

x2

)-μmg(x2-x)=0
代入數(shù)據(jù)有
1.0×10^-7(

4.5×104

0.1

-

4.5×104

x2

)-0.20×0.10×10(x2-0.1)=0
可解得x₂=0.225m（舍去x₂=0.1m）
故滑塊最終停止在坐標(biāo)為0.225m的位置．
（3）先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)．
即加速度先減小后增大．
當(dāng)它位于x=0.15m時(shí)，圖象上該點(diǎn)的切線斜率表示場強(qiáng)大小
E=

?

x

=

3.00×105

0.15

=2.0×106N/C
滑塊在該點(diǎn)的水平合力F_X=Eq-μmg=2.0×10⁶×1.0×10^-7-0.20×0.10×10=0
故滑塊的加速度a=

Fx

m

=0
故在上述第（2）問的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，它的加速度先變小后變大；當(dāng)它位于x=0.15m時(shí)它的加速度為零．
（4）設(shè)滑塊到達(dá)的最左側(cè)位置為x₁，則滑塊由該位置返回到出發(fā)點(diǎn)的過程中
由動(dòng)能定理 W_F+W_f=△E_K=0
有 q（?₁-?₂）-μmg（x-x₁）=0
代入數(shù)據(jù)有   1.0×10^-7(

4.5×104

x1

-

4.5×104

0.6

)-0.20×0.10×10(0.6-x1)=0
可解得x₁=0.0375m（舍去x₁=0.6m）．
再對滑塊從開始運(yùn)動(dòng)到返回出發(fā)點(diǎn)的整個(gè)過程，由動(dòng)能定理
-2μmg（x-x₁）=0-

1

2

mv02
代入數(shù)據(jù)有2×0.20×0.10×10（0.60-0.0375）=0.5×0.10v₀²
可解得v0=

3

2

2

≈2.12m/s
即滑塊從x=0.60m處以初速度v₀沿-x方向運(yùn)動(dòng)，要使滑塊恰能回到出發(fā)點(diǎn)，其初速度v₀應(yīng)為2.12m/s．

點(diǎn)評：本題首先要明確φ-x圖象中任意一點(diǎn)的切線的斜率表示電場強(qiáng)度的大小，由于是變加速運(yùn)動(dòng)，然后對各個(gè)過程分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解．