Question

宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對它們的引力作用，設每個星體的質(zhì)量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G，試求：
（1）求星體做勻速圓周運動的周期．
（2）若假設能在其中某一個星上做這么一個實驗：站在h高處以v速度將一個物體水平拋出，測得落地點離拋出點水平位移為s，則該星半徑R=？

Answer 1

分析：（1）由星體的分布可以得到星體圓周運動的半徑，在由萬有引力充當向心力的周期表達式可以得到周期
（2）由平拋可以得到星體表面的重力加速度，在由萬有引力等于重力，可以解得星球半徑

解答：解：
（1）
由星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動可知，星體做勻速圓周運動的軌道半徑 r=

2

2

a 
由萬有引力定律和向心力公式得：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m

2

2

a

4π2

T2

解得：
T=2πa

2 a (2 2 +1)Gm

）
（2）
由萬有引力的定律可知：G

mm′

R2

=m′g′
則星體表面的重力加速度：g′=G

m

R2

由平拋規(guī)律：

s=vt h= 1 2 g/t2

得：
g/=

2h

t2

=

2hv2

s2

=G

m

R2

解得：
R=

s

v

Gm 2h

答：
（1）星體做勻速圓周運動的周期T=2πa

2 a (2 2 +1)Gm

（2）該星半徑R=

s

v

Gm 2h

點評：本題兩個重點，一是對每個星球受力的表達，二是由利用要平拋規(guī)律求表面重力加速度．