Question

1．如圖所示，某種材料做成的一個(gè)半徑為R、底邊MN為直徑的透明半圓柱體，一束紅光從距離底邊$\frac{\sqrt{2}}{2}$R的A點(diǎn)平行于底邊射入玻璃磚，經(jīng)過底邊反射后從距離底邊$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}R$的B點(diǎn)射出，試分析該玻璃的折射率為$\sqrt{3}$+1，無（填“有”或“無”）光線從MN邊射出，從B點(diǎn)射出的光線與水平方向所成銳角是60度．（已知sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 根據(jù)幾何知識(shí)求出光線在A點(diǎn)的入射角和折射角，從而求得折射率．根據(jù)光線在MN上的入射角和全反射臨界的關(guān)系，分析是否有光線從MN邊射出．由折射定律和幾何關(guān)系求解從B點(diǎn)射出的光線與水平方向所成銳角的大小．

解答 解：如圖，由sini=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，i=45°．sin∠BCF=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，得∠BCF=15°
光線在D點(diǎn)發(fā)生反射，根據(jù)反射定律和幾何知識(shí)可知，△AED∽△BFD
有 $\frac{ED}{DF}$=$\frac{AE}{BF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}R}$
又 ED+DF=Rcos45°+Rcos15°
聯(lián)立解得 ED=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，DF=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$R
則tan∠DAE=$\frac{ED}{AE}$=$\sqrt{3}$
即tan（45°+r）=$\sqrt{3}$
解得 tanr=15°
則折射率 n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin45°}{sin15°}$=$\sqrt{3}$+1
tan∠BDF=$\frac{BF}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得∠BDF=30°
則得 i′=∠BDF-∠BCF=15°
由$\frac{sinr′}{sini′}$=n，解得 r′=45°
所以B點(diǎn)射出的光線與水平方向所成銳角r′+15°=60°
故答案為：$\sqrt{3}$+1，無，60．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是作出光路圖，運(yùn)用幾何知識(shí)找出邊長或角度之間的關(guān)系，結(jié)合折射定律研究．