Question

（2011?攀枝花三模）半徑為R的半圓形光滑軌道豎直放置，與粗糙水平軌道相接于最低點(diǎn)，水平軌道的最右端有一豎直擋板．今有一質(zhì)量為m的小球從軌道最高點(diǎn)水平飛入軌道，飛入時對軌道的壓力3mg．已知小球與水平軌道間的動摩擦因素為μ．
（1）求小球第一次過半圓軌道最低點(diǎn)時對軌道壓力的大��？
（2）小球第一次與擋板發(fā)生碰撞（碰撞過程中無機(jī)械能損失）后，恰能返回半圓軌道最高點(diǎn)，求水平軌道的長度．

Answer 1

分析：（1）、此題要找到幾個狀態(tài)，一是第一次經(jīng)過最高點(diǎn)，二是第一次經(jīng)過最低點(diǎn)，三是第二次經(jīng)過最高點(diǎn)，對這三個狀態(tài)進(jìn)行分析．第一次經(jīng)過最高點(diǎn)時，小球的重力和軌道最小球的支持力提供向心力，由向心力公式可求出此時的速度，由最高點(diǎn)到第一次經(jīng)過最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒．應(yīng)用能量關(guān)系求出速度v₁，由向心力求出軌道對小球的支持力，再由牛頓第三定律可知小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）、第二次回到最高點(diǎn)時，重力提供向心力，求出此時的速度v₂，整個過程除重力做功外，還有摩擦力做功，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒可求出水平軌道的長度．

解答：解：
（1）、小球飛入軌道時的速度為v₀，第一次過最低點(diǎn)的速度為v₁，受到的支持力為N₁，則由圓周運(yùn)動規(guī)律、機(jī)械能守恒定律得：
小球在最高點(diǎn)時：N0+mg=m

v 2 0

R

…①
小球在最低點(diǎn)時：N1-mg=m

v 2 1

R

…②

1

2

m

v

2 0

+mg?2R=

1

2

m

v

2 1

…③
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)得：N₁=9mg
由牛頓第三定律得小球第一次過最低點(diǎn)時對軌道的壓力：N₁′=N₁=9mg
（2）、由圓周運(yùn)動規(guī)律、動能定理得：
恰能回到最高點(diǎn)時，有：mg=m

v 2 2

R

…④

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

=-2μmgL…⑤
聯(lián)立以上各式解得：L=

3R

4μ

答：（1）求小球第一次過半圓軌道最低點(diǎn)時對軌道壓力為9mg．
（2）水平軌道的長度為

3R

4μ

．

點(diǎn)評：小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道內(nèi)運(yùn)動時，經(jīng)過最高點(diǎn)的條件是速度v≥

gR

，當(dāng)速度為

gR

時，對軌道沒有壓力，此時只有重力提供向心力．
在解答第一問時，由N1-mg=m

v 2 1

R

求得的N₁是小球受到的支持力，問的是小球?qū)�管道的壓力，此處一定要用牛頓第三定律．