Question

3．我國的航空航天事業(yè)取得了巨大成就．2013年12月14日，“嫦娥三號(hào)”探測器在月球上的虹灣區(qū)成功實(shí)現(xiàn)軟著陸．已知“嫦娥三號(hào)”在軟著陸的最后階段，關(guān)閉了反推發(fā)動(dòng)機(jī)，從距月球表面高度h處由靜止開始下落，著陸時(shí)速度的大小為v，月球半徑為R．求：
（1）月球表面的重力加速度g₀；
（2）“嫦娥三號(hào)”在著陸前的某段時(shí)間內(nèi)，環(huán)繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T，求“嫦娥三號(hào)”距月球表面的高度H．

Answer 1

分析 （1）著陸的最后階段，探測器做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求月球表面的重力加速度g₀；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，求得軌道半徑，再根據(jù)月球半徑求得距月球表面的高度H．

解答 解：（1）“嫦娥三號(hào)”在這段時(shí)間內(nèi)做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
υ²=2g₀h     
解得：${g_0}=\frac{v^2}{2h}$
（2）設(shè)月球的質(zhì)量為M，“嫦娥三號(hào)”的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：
 $G\frac{Mm}{{{{（R+H）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+H）$
在月球表面，有：$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_0}$
解得：$H=\root{3}{{\frac{{{g_0}{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R=\root{3}{{\frac{{{v^2}{R^2}{T^2}}}{{8h{π^2}}}}}-R$
答：（1）月球表面的重力加速度g₀是$\frac{{v}^{2}}{2h}$．
（2）“嫦娥三號(hào)”距月球表面的高度H為$\root{3}{\frac{{v}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{hπ}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 掌握自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，關(guān)于萬有引力應(yīng)用主要從萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬有引力與重力相等著手處理．