Question

2．如圖所示，在半徑為R的圓形邊界內(nèi)存在豎直向上的勻強電場，電場強度E=1×10⁶T，以圓心為坐標原點建立直角坐標系，在坐標原點分別以豎直向上、豎直向下、水平向左、水平向右同時拋出四個帶正電的小球，小球的電荷量q=8×10^-12C，質(zhì)量m=1×10^-6kg，它們的初速度大小均為v₀=4m/s，忽略空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，則：
（1）當R=$\sqrt{17}$m時，水平向右拋出的小球經(jīng)過多少時間到達圓形邊界？
（2）試證明：在四個小球都未到達圓形邊界前，能用一個圓將四個小球連起來，并寫出圓心的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先分析四個帶電小球的受力情況，求出四種情況的加速度，據(jù)此求水平向右拋出小球到達圓形邊界，利用平拋運動的知識即可求解．（2）由于四種情況的加速度大小相同，利用平拋運動和勻變速直線運動，（勻變速直線運動可以分解為勻速直線運動和初速度為零的勻變速直線運動），據(jù)此分析處在四個小球都未到達圓形邊界前，能用一個圓將四個小球連起來，并寫出圓心的坐標．

解答 解：（1）由于四個小球相同，都受到重力和電場力，所以加速度相同，據(jù)牛頓第二定律得：
a=$\frac{2×1{0}^{-6}}{1×1{0}^{-6}}$m/s²=2m/s²
水平向右拋出的小球經(jīng)過多少時間到達圓形邊界，據(jù)平拋運動可知，
x=v₀t=4t
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
據(jù)幾何關(guān)系可知：x²+y²=17
聯(lián)立以上解得：t=1s
（2）先分析水平向左和向右平拋的小球，由于初速度和加速度相同，據(jù)平拋運動可知，兩球水平位移和豎直位移相同，即兩種情況的規(guī)律關(guān)于y軸對稱．
再以豎直向下運動的小球，可以視為向下的勻速直線運動和初速度為零的勻加速直線運動，所以豎直方向的位移為勻速的位移和勻加速的位移之和；即此種情況的位移比水平拋的位移多：△x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
再以豎直向上運動的小球，可以視為向上的勻速直線運動和初速度為零的勻減速直線運動，所以豎直方向的位移為勻速的位移和勻減速的位移之差．即此種情況的位移比水平拋的位移少：△x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
綜上可知，兩球水平位移和豎直位移相同，即兩種情況的規(guī)律關(guān)于y軸對稱；且豎直方向拋出球的軌跡關(guān)于坐標（0，t²）對稱，所以在四個小球都未到達圓形邊界前，能用一個圓將四個小球連起來，且圓心的坐標為（0，t²），t為小球運動的時間．
答：（1）當R=$\sqrt{17}$m時，水平向右拋出的小球經(jīng)過1s時間到達圓形邊界．
（2）在四個小球都未到達圓形邊界前，能用一個圓將四個小球連起來，圓心的坐標（0，t²）．

點評 此題是典型的拋體運動，靈活利用平拋運動的處理方法是解題的關(guān)鍵，還需靈活應(yīng)用幾何關(guān)系；第二問此題看似較難，巧利用運動的分解和水平拋出關(guān)于y軸對稱，此問題迎刃而解．