Question

（18分）如圖所示，與紙面垂直的豎直面MN的左側(cè)空間中存在豎直向上場(chǎng)強(qiáng)大小為的勻強(qiáng)電場(chǎng)（上、下及左側(cè)無(wú)界）。一個(gè)質(zhì)量為、電量為的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球，在時(shí)刻以大小為的水平初速度向右通過(guò)電場(chǎng)中的一點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)刻在電場(chǎng)所在空間中加上一如圖所示隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)，使得小球能豎直向下通過(guò)D點(diǎn)，D為電場(chǎng)中小球初速度方向上的一點(diǎn)，PD間距為，D到豎直面MN的距離DQ為.設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里為正.

（1）試說(shuō)明小球在0—時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況,并在圖中畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡；
（2）試推出滿足條件時(shí)的表達(dá)式（用題中所給物理量、、、、來(lái)表示）；
（3）若小球能始終在電場(chǎng)所在空間做周期性運(yùn)動(dòng).則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度及運(yùn)動(dòng)的最大周期的表達(dá)式（用題中所給物理量、、、來(lái)表示）。

Answer 1

（1）如甲圖所示 （2）  （3）

試題分析：
（1）在0～t₁時(shí)間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在t₁～t₁+t₀時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)  （2分）
軌跡如甲圖所示 （3分）

（2）小球進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)    ①  （1分）
在t₁時(shí)刻加入磁場(chǎng)，小球在時(shí)間t₀內(nèi)將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖甲所示），設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)周期為，半徑為，豎直向下通過(guò)D點(diǎn)，則：  ②  （1分）
    ③      （1分）
 即  ④ （1分）
將③代入④式解得    （2分）
（3）小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，也增加，小球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的周期增加，在小球不飛出電場(chǎng)的情況下，當(dāng)最大時(shí)，有：，即 ⑤  （2分）
     ⑥  （2分）
綜合⑤⑥式得 
     ⑦
綜合軌跡圖可知，小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大周期 ⑧  （2分）
綜合上式解得:
所以小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡如圖乙所示：