Question

在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量m=60kg的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m，繩長l不確定，不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺露出水面的高度不計(jì)．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若繩長l=2m，選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對繩拉力的大小；
（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，小明認(rèn)為繩越長，在浮臺上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽卻認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．請通過推算說明你的觀點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求得選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）在最低點(diǎn)時(shí)，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的向心力求出繩子對選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對繩子的拉力．
（3）選手從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)．對于平拋運(yùn)動(dòng)沿水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行分解，水平方向上是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上時(shí)自由落體運(yùn)動(dòng)，分別列出位移式子，聯(lián)立后進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出當(dāng)l=1.5m時(shí)，水平方向由最大值．再說明自己的觀點(diǎn)．

解答：解：
（1）選手從靜止擺到最低點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒，對選手運(yùn)用機(jī)械能守恒定律有：
   mgl(1-cosα)=

1

2

mv2  ①
代入數(shù)據(jù)得：v=

2×10×2×(1-0.6)

m/s=4m/s
（2）選手過最低點(diǎn)時(shí)，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，則得：
   F-mg=m

v2

l

  ②
將①式代入②式得：F=（3-2cosα）mg=（3-2×0.6）×60×10N=1080N
由牛頓第三定律可知：選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對繩拉力F′=F=1080N
（3）選手從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
水平方向有：x=vt  ③
豎直方向有：H-l=

1

2

gt2  ④
由①、②、③式得：x=2

l(H-l)(1-cosα)

當(dāng)l=H-l，即 l=

H

2

=1.5m時(shí)，x有最大值．
因此，兩人的看法均不正確，當(dāng)繩長越接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．
答：
（1）若繩長l=2m，選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)速度的大小為4m/s；
（2）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對繩拉力的大小為1080N；
（3）兩人的看法均不正確，當(dāng)繩長越接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．

點(diǎn)評：本題考查到了機(jī)械能守恒，圓周運(yùn)動(dòng)向心力，動(dòng)能定理，平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及求極值問題．解答第二問時(shí)，一定注意要求的是選手對繩子的拉力．解題過程中是對選手進(jìn)行受力分析的，故不要忘記應(yīng)用牛頓第三定律．關(guān)于物理當(dāng)中的極值問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求解．