Question

2．如下圖所示，兩平行金屬板A、B長(zhǎng)為L(zhǎng)=8cm，兩板間距離d=8cm，A板比B板電勢(shì)高300V，一帶正電的粒子電荷量為q=1.0×10^-10C，質(zhì)量為m=1.0×10^-20kg，沿電場(chǎng)中心線RO垂直電場(chǎng)線飛入電場(chǎng)，初速度v₀=2.0×10⁶ m/s，粒子飛出電場(chǎng)后經(jīng)過(guò)界面MN、PS間的無(wú)電場(chǎng)區(qū)域，然后進(jìn)入固定在O點(diǎn)的點(diǎn)電荷Q形成的電場(chǎng)區(qū)域（設(shè)界面PS右側(cè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布不受界面的影響）．已知兩界面MN、PS相距為12cm，D是中心線RO與界面PS的交點(diǎn)，O點(diǎn)在中心線上，距離界面PS為9cm，粒子穿過(guò)界面PS做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏bc上．（靜電力常量k=9.0×10⁹ N•m²/C²，粒子的重力不計(jì)）求：
（1）粒子穿過(guò)界面MN時(shí)偏離中心線RO的距離多遠(yuǎn)？到達(dá)PS界面時(shí)離D點(diǎn)多遠(yuǎn)？
（2）垂直打在放置于中心線上的熒光屏的位置離D點(diǎn)多遠(yuǎn)？．
（3）確定點(diǎn)電荷Q的電性并求其電荷量的大小．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，只受電場(chǎng)力，做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的側(cè)移h，由幾何知識(shí)求解粒子到達(dá)PS界面時(shí)離D點(diǎn)的距離．
（2）畫出軌跡，由幾何知識(shí)解答．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出電場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向．粒子穿過(guò)界面PS后將繞電荷Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由庫(kù)侖力提供向心力，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，再牛頓定律求解Q的電荷量．

解答 解：（1）粒子穿過(guò)界面MN時(shí)偏離中心線RO的距離（側(cè)向位移）：y=$\frac{1}{2}$at²；
又 a=$\frac{qU}{md}$，L=v₀t
則得：y=$\frac{qU{L}^{2}}{2md{v}_{0}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)得：y=0.03m=3cm
帶電粒子在離開電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其軌跡與PS線交于a，設(shè)a到D的距離為Y．         
由相似三角形得 $\frac{y}{Y}$=$\frac{\frac{1}{2}L}{\frac{1}{2}L+l}$=$\frac{\frac{1}{2}×8cm}{\frac{1}{2}×8cm+12cm}$=$\frac{1}{4}$
解得：Y=4y=12cm  
（2）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，只受電場(chǎng)力，做類平拋運(yùn)動(dòng)，在MN、PS間的無(wú)電場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，界面PS右邊做圓周運(yùn)動(dòng)，最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏bc上，軌跡如圖所示．
由幾何知識(shí)得，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 r=$\sqrt{{Y}^{2}+{L}_{DO}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$cm=15cm
垂直打在放置于中心線上的熒光屏的位置離D點(diǎn)的距離  x=L_DO+r=9cm+15cm=24cm
（3）帶電粒子到達(dá)a處時(shí)，帶電粒子的水平速度：v_x=υ₀=2×10⁶m/s 
豎直速度：υ_y=at=1.5×10⁶m/s，
合速度為 v_合=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2.5×10⁶m/s          
該帶電粒子在穿過(guò)界面PS后將繞點(diǎn)電荷Q作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所以Q帶負(fù)電．
根據(jù)k$\frac{qQ}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}_{合}^{2}}{r}$，代入數(shù)據(jù)解得：Q=1.04×10^-8C
答：
（1）粒子穿過(guò)界面MN時(shí)偏離中心線RO的距離為3cm，到達(dá)PS界面時(shí)離D點(diǎn)12cm．
（2）垂直打在放置于中心線上的熒光屏的位置離D點(diǎn)24cm．
（3）點(diǎn)電荷Q帶負(fù)電，其電荷量的大小為1.04×10^-8C．

點(diǎn)評(píng) 本題是類平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是基礎(chǔ)．難點(diǎn)是運(yùn)用幾何知識(shí)研究圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．