Question

14．用光滑圓管制成如圖所示的軌道，豎直立于水平地面上，其中ABC為圓軌道的一部分，CD為傾斜直軌道，二者相切與C點(diǎn)，已知圓軌道的半徑R=1m，傾斜軌道CD與水平地面的夾角為θ=37°，現(xiàn)將一小球以一定的初速度從A點(diǎn)射入圓管，小球直徑略小于圓管的直徑，取重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求小球通過(guò)傾斜軌道CD的最長(zhǎng)時(shí)間（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 由題意得小球到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為0，則利用動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式建立等式聯(lián)立求解．

解答 解：小球通過(guò)傾斜軌道時(shí)間若最長(zhǎng)，則小球到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為0，從最高點(diǎn)到C點(diǎn)：
對(duì)小球由動(dòng)能定理可得：mgh=$\frac{1}{2}$mv_C²
由幾何關(guān)系得：h=R-Rcosθ
小球在CD段勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由位移公式得：L=v_Ct+$\frac{1}{2}$at²
CD的長(zhǎng)度為：L=$\frac{R（1+cosθ）}{sinθ}$
 對(duì)小球利用牛頓第二定律可得：mgsinθ=ma
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：t=1s．
答：小球通過(guò)傾斜軌道CD的最長(zhǎng)時(shí)間為1s．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)知識(shí)．解答此題的關(guān)鍵是找到隱含條件：小球通過(guò)傾斜軌道時(shí)間若最長(zhǎng)，即是小球到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為0．要求認(rèn)真分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，理解豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的兩種模型：輕繩模型和輕桿模型，知道它們能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)的臨界條件．