Question

7．如圖1所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為0.5T，其方向垂直于傾角θ=30°的斜面向上．絕緣斜面上固定有“V”字形的光滑金屬導(dǎo)軌MON（電阻忽略不計(jì)），MO和NO長(zhǎng)度均為S=2.5m，MN連線水平，MN兩點(diǎn)間距離為D=3m，P為MN的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，OP為x軸建立一維坐標(biāo)系Ox，一根粗細(xì)均勻的金屬桿CD，長(zhǎng)度d=3.0m，質(zhì)量m=1kg，電阻R=0.3Ω，在拉力F的作用下，從O處以恒定速度v=1m/s在導(dǎo)軌上沿x軸正向運(yùn)動(dòng)（金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好），g取10m/s²．
（1）求金屬桿CD運(yùn)動(dòng)到x=0.8m處時(shí)，金屬桿中電流強(qiáng)度的大小和方向；
（2）推導(dǎo)金屬桿CD從O處運(yùn)動(dòng)到MN處過(guò)程中拉力F與位置坐標(biāo)x的關(guān)系式，并在圖2中畫(huà)出F-x關(guān)系圖象；
（3）求金屬桿CD從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到MN處的全過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由幾何關(guān)系求得x=0.8m處的電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，由右手定則判斷出電流方向；
（2）應(yīng)用E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡條件求出拉力F，最后作出圖象；
（3）當(dāng)導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，由有效長(zhǎng)度可列出安培力大小關(guān)于向上運(yùn)動(dòng)位移的表達(dá)式，根據(jù)安培力與位移成線性關(guān)系，可利用安培力平均值來(lái)求出產(chǎn)生焦耳熱．

解答 解：（1）設(shè)∠PON=α，由題意可知：sinα=$\frac{PN}{ON}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2.5}$=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=0.75，
金屬桿CD運(yùn)動(dòng)到x=0.8m處時(shí)切割磁感線的有效長(zhǎng)度：L=2xtanα=1.2m，
此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv=0.5×1.2×1=0.6V，
接入電路的電阻：r=$\frac{L}ypcyahe$R=$\frac{1.2}{3}$×0.3=0.12Ω，
電路電流：I=$\frac{E}{r}$=$\frac{0.6}{0.12}$=5A，
由右手定則可知，感應(yīng)電流方向?yàn)椋河蒀流向D；
（2）金屬棒切割磁感線的有效長(zhǎng)度：L=2xtanα=1.5x，
金屬棒接入電路的電阻阻值：r=$\frac{L}0se2ac5$R=0.15xΩ，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv，
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{r}$=$\frac{BLv}{r}$=$\frac{0.5×1.5x×1}{0.15x}$=5A，
金屬棒受到的安培力：F_安=BIL=0.5×5×1.5x=3.75x，
金屬棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：mgsinθ+F_安=F，
解得：F=5+3.75x，x=0時(shí)，F(xiàn)=5N，x=2m時(shí)，F(xiàn)=12.5N，F(xiàn)-x關(guān)系圖象如圖：

 （3）設(shè)導(dǎo)體棒經(jīng)t時(shí)間沿導(dǎo)軌勻速向上運(yùn)動(dòng)的位移為x，
金屬棒的最大位移：x=ONcosα=2m，
導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力：F_安=3.75x，
因安培力的大小F_安與位移x成線性關(guān)系，故通過(guò)導(dǎo)軌過(guò)程中導(dǎo)體棒所受安培力的平均值：
$\overline{F}$=$\frac{0+3.75×2}{2}$=3.75N，
產(chǎn)生的焦耳熱：Q=$\overline{F}$x=3.75×2=7.5J；
答：（1）金屬桿CD運(yùn)動(dòng)到x=0.8m處時(shí)，金屬桿中電流強(qiáng)度的大小為5A，方向：由C流向D；
（2）金屬桿CD從O處運(yùn)動(dòng)到MN處過(guò)程中拉力F與位置坐標(biāo)x的關(guān)系式為：F=5+3.75x，F(xiàn)-x關(guān)系圖象如圖所示；
（3）金屬桿CD從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到MN處的全過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱為7.5J．

點(diǎn)評(píng) 考查法拉第電磁感應(yīng)定律，閉合電路歐姆定律，共點(diǎn)力平衡條件及安培力表達(dá)式．本題突破口：產(chǎn)生感應(yīng)電流與導(dǎo)體棒有效長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，同時(shí)巧用安培力與位移成線性關(guān)系，由安培力平均值來(lái)求焦耳熱．