Question

如圖所示，地面和半圓軌道面均光滑，質量M=1kg、長L=4m的小車放在地面上，其右端與墻壁的距離S=3m，小車上表面與半圓軌道最低點P的切線相平．現(xiàn)有一質量m=2kg的滑塊（可視為質點）以v₀=6m/s的初速度滑上小車左端，帶動小車向右運動，小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數(shù)μ=0.2，g取10m/s²．
（1）小車與墻壁碰撞前，小滑塊會不會從小車上掉下來？
（2）討論半圓軌道的半徑R在什么范圍內，滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道？

Answer 1

分析：（1）中可用假設法根據(jù)動量守恒定律求出滑塊與小車速度相同時的速度，再結合能量守恒定律即動能定理求出相應位移，從而比較可得結論．（2）中注意物塊能到達豎直平面內最高點的最小速度條件是重力等于向心力，而到達

1

4

圓弧T點的最小速度是0．

解答：解：（1）設滑塊與小車的共同速度為v₁，滑塊與小車相對運動過程中動量守恒，有：mv₀=（m+M）v₁
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s
設滑塊與小車的相對位移為L₁，由系統(tǒng)能量守恒定律，有：μmgL 1=

1

2

mv 0 2-

1

2

(m+M)v 1 2
代入數(shù)據(jù)解得：L₁=3m
設與滑塊相對靜止時小車的位移為S₁，根據(jù)動能定理，有：μmgS 1=

1

2

Mv 1 2-0
代入數(shù)據(jù)解得：S₁=2m
因L₁＜L，S₁＜S，說明小車與墻壁碰撞前滑塊與小車已具有共同速度，且共速時小車與墻壁還未發(fā)生碰撞，小滑塊不會從小車上掉下來．
（2）滑塊將在小車上繼續(xù)向右做初速度為v₁=4m/s，位移為L₂=L-L₁=1m的勻減速運動，然后滑上圓軌道的最低點P．
若滑塊恰能滑過圓的最高點，設滑至最高點的速度為v，臨界條件為：mg=m

v 2

R

            ①
根據(jù)動能定理，有：-μmgL 2-mg?2R=

1

2

mv 2-

1

2

mv 1 2                           ②
①②聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：R=0.24m
若滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達T點時就停止，則滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．
根據(jù)動能定理，有：-μmgL 2-mg?R=0-

1

2

mv 1 2
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.6m
綜上所述，滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿足：R≤0.24m或R≥0.6m
答：（1）小車與墻壁碰撞前，小滑塊不會從小車上掉下來．
（2）半圓軌道的半徑R滿足：R≤0.24m或R≥0.6m時，滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．

點評：當遇到相互作用的問題時要想到運用動量守恒定律并結合能量守恒定律求解，當遇到豎直面內圓周運動問題時注意臨界速度的求法．該題還要注意對滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道的情景分析．