Question

如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑金屬導(dǎo)軌相距L，放在水平絕緣桌面上，半徑為R的l/4圓弧部分處在豎直平面內(nèi)，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，末端與桌面邊緣平齊．兩金屬棒ab、cd垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好．棒ab質(zhì)量為2m，電阻為r，棒cd的質(zhì)量為m，電阻為r．重力加速度為g．開始時(shí)棒cd靜止在水平直導(dǎo)軌上，棒ab從圓弧頂端無初速度釋放，進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后與棒cd始終沒有接觸并一直向右運(yùn)動，最后兩棒都離開導(dǎo)軌落到地面上．棒ab與棒cd落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離之比為1：3．  求：
（1）棒ab滑到圓弧底部進(jìn)入磁場之前的速度大小
（2）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大小；
（3）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度；
（4）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

（1）設(shè)ab棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌的速度為v₁，ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能定恒：
2mgR=

1

2

×2mv₁²       
解得：v₁=

2gR

． ①
（2）離開導(dǎo)軌時(shí)，設(shè)ab棒的速度為

v

′1

，cd棒的速度為

v

′2

，ab棒與cd棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動，
根據(jù)動量定恒得：
2mv₁=2m

v

′1

+m

v

′2

     ②
依題意

v

′1

＞

v

′2

，兩棒離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動的時(shí)間相等，
由平拋運(yùn)動水平位移x=vt可知

v

′1

：

v

′2

=x₁：x₂=1：3     ③
聯(lián)立①②③解得

v

′1

=

2

5

2gR

，

v

′2

=

6

5

2gR

 
（3）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，cd棒受到的安培力最大，此時(shí)它的加速度最大，設(shè)此時(shí)回路的感應(yīng)電動勢為E，
E=BLv      ④
I=

E

2r

         ⑤
cd棒受到的安培力為：F_cd=BIL    ⑥
根據(jù)牛頓第二定律，cd棒有最大加速度為
a=

Fcd

m

           ⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦解得：
a=

B2L2 2gR

2mr

    
（4）根據(jù)能量定恒，兩棒在軌道上運(yùn)動過程產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=

1

2

×2mv₁²-（

1

2

×2mv′₁²+

1

2

×mv′₂²）      ⑧
聯(lián)立①⑧并代入v′₁和v′₂解得：
Q=

6

25

mgR
答：（1）棒ab滑到圓弧底部進(jìn)入磁場之前的速度大小是

2gR

，
（2）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大小分別是

2gR

，

6

5

2gR

，
（3）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度是

B2L2 2gR

2mr

；
（4）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱是

6

25

mgR．