Question

18．磁懸浮列車是一種高速運載工具，它具有兩個重要系統(tǒng)．一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸從而減小阻力．另一是驅(qū)動系統(tǒng)，即利用磁場與固定在車體下部的感應(yīng)金屬框相互作用，使車體獲得牽引力，如圖是實驗列車驅(qū)動系統(tǒng)的原理示意圖．在水平面上有兩根很長的平行軌道PQ和MN，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．在列車的底部固定著繞有N匝相同的閉合矩形金屬線圈，并且與之絕緣，整個線圈的總電阻為R，每個矩形金屬線圈abcd垂直軌道的邊長L_ab=L，且兩磁場的寬度均與金屬線圈ad的邊長相同（列車的車廂在圖中未畫出）．當兩磁場B_l和B₂同時沿導(dǎo)軌方向向右運動時，金屬框也會受到向右的磁場力，帶動列車沿導(dǎo)軌運動．已知列車車廂及線圈的總質(zhì)量為M，假設(shè)列車所受阻力大小恒為f．則：
（1）假設(shè)用兩磁場同時水平向右以速度V₀作勻速運動來起動列車，求列車向右運行的最大速度V_m；
（2）請你分析在（1）的情況下提高列車最大運行速度的可行性措施（至少說出3條）以及使列車減速停車的可行性措施（至少說出2條）；
（3）假如列車達到最大速度V_m后向右做勻速直線運動，求經(jīng)過時間t外界提供的總能量；
（4）假如用兩磁場由靜止沿水平向右做勻加速直線運動來起動列車，當兩磁場運動的時間為t₁時，列車也正在以速度V₁向右做勻加速直線運動，求兩磁場開始運動后到列車開始起動所需要的時間t₀．

Answer 1

分析 （1）由歐姆定律求出感應(yīng)電流，由安培力公式求出安培力，當列車勻速運動時速度最大，應(yīng)用平衡條件可以求出列車的最大速度．
（2）根據(jù)列車最大速度的表達式分析，找出提高最大速度的措施以及使列車減速停車的措施．
（3）列車水平向右以速度v做勻速運動時，相對于磁場向左運動，線框所受的安培力與阻力大小相等，根據(jù)受力平衡，求出電流I，再根據(jù)能量守恒定律E=I²R+fv求出單位時間內(nèi)需提供的總能量．
（4）為實現(xiàn)列車最終沿水平方向做勻加速直線運動，其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線運動的加速度相同，t₁時刻金屬線圈中的電動勢：E=2NBL（at₁-v₁），根據(jù)所受的安培力，結(jié)合牛頓第二定律求出列車最終的加速度．從磁場運動到列車起動需要時間為t₀，t₀時刻金屬線圈中的電動勢E₀=2NBLat₀，當t₀時刻時安培力增大到與阻力相等，根據(jù)安培力等于阻力求出t₀．

解答 解：（1）感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2NBL（{v}_{0}-{v}_{m}）}{R}$，
線框受到的安培力：F=2NBIL，
列車勻速運動時速度最大，由平衡條件得：
2NBIL-f=0，
解得：${V_m}={V_0}-\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}}}$；
（2）由${V_m}={V_0}-\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}}}$可知，提高列車最大運行速度的可行性措施：減少阻力、減少線圈電阻、增大驅(qū)動磁場、增大驅(qū)動磁場的運行速度等，使列車減速停車的可行性措施：切斷電源使磁場停止運動、改變驅(qū)動磁場方向、使驅(qū)動磁場反向運動等；
（3）當列車以速度v_m勻速運動時，兩磁場水平向右運動的速度為v′，金屬框中感應(yīng)電動勢為：
E=2NBL（v′-v_m）
金屬框中感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{2NBL（v′-{v}_{m}）}{R}$，
由平衡條件得：F=2NBIL=f，
解得：v′=v_m+$\frac{fR}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$，
當列車勻速運動時，金屬框中的熱功率為：P₁=I²R，克服阻力的功率為：P₂=fv_m，
外界在單位時間內(nèi)需提供的總能量為：E=I²Rt+fvt=tfv_m+$\frac{{f}^{2}R}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$t；
（4）根據(jù)題意分析可得，為實現(xiàn)列車最終沿水平方向做勻加速直線運動，其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線運動的加速度相同，設(shè)加速度為a，則t₁時刻金屬線圈中的電動勢：
E=2NBL（at₁-v₁）
金屬框中感應(yīng)電流：I=$\frac{2NBL（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$，
又因為安培力：F=2NBIL=$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$，
對列車，由牛頓第二定律得：$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（a{t}_{1}-{v}_{1}）}{R}$-f=Ma，
解得：a=$\frac{fR+4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{1}-MR}$，
設(shè)從磁場運動到列車起動需要時間為t₀，則t₀時刻金屬線圈中的電動勢：E₀=2NBLat₀，
金屬框中感應(yīng)電流：I₀=$\frac{2NBLa{t}_{0}}{R}$，
安培力：F₀=2NBIL=$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$，
對列車，由牛頓第二定律得：$\frac{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$=f，
解得：${t_0}=\frac{fR}{{4{N^2}{B^2}{L^2}{a_{\;}}}}=\frac{{fR（{4{N^2}{B^2}{L^2}{t_1}-MR}）}}{{4{N^2}{B^2}{L^2}（fR+4{N^2}{B^2}{L^2}{v_1}）}}$；
答：（1）列車向右運行的最大速度V_m為：V₀-$\frac{fR}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）提高列車最大運行速度的可行性措施：減少阻力、減少線圈電阻、增大驅(qū)動磁場、增大驅(qū)動磁場的運行速度等，
使列車減速停車的可行性措施：切斷電源使磁場停止運動、改變驅(qū)動磁場方向、使驅(qū)動磁場反向運動等．
（3）經(jīng)過時間t外界提供的總能量tfv_m+$\frac{{f}^{2}R}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$t；
（4）兩磁場開始運動后到列車開始起動所需要的時間t₀為$\frac{fR（4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{t}_{1}-MR）}{4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}（fR+4{N}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}）}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵以磁場為參考系，線圈做切割磁感線運動，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而受到安培力，在安培力和阻力的作用下運動．