Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，第一四象限有磁場，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸間右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子在0～3t₀時間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極邊緣的影響）．



已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時，刻經(jīng)極板邊緣射入磁場．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）
（1）求電壓U₀的大�。�
（2）求t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑．
（3）帶電粒子在磁場中的運動時間．

Answer 1

（1）t=0時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運動，t₀時刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負方向偏移的距離為

l

2

，則有     E=

U0

l

   Eq=ma    
  

l

2

=

1

2

at₀²
聯(lián)立解得，兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為U0=

ml2

qt02

．
（2）t₀時刻進入兩極板的帶電粒子，兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動．
帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為v₀=

l

t0

設(shè)帶電粒子離開電場進入磁場做勻速圓周運動的半徑為R，則有qvB=m

v02

R

聯(lián)立解得，R=

ml

qBt0

（3）2t₀時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短．帶電粒子離開電場時沿y軸正方向的分速度為v_y=at₀，
設(shè)帶電粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為α，則
   tanα=

v0

vy

聯(lián)立解得α=

π

4

，帶電粒子在磁場運動的軌跡圖如圖所示，圓弧所對的圓心角為2α=

π

2

，所求最短時間為    tmin=

1

4

T．
帶電粒子在磁場中運動的周期為T=

2πm

qB

，聯(lián)立以上兩式解得
   tmin=

πm

2qB

．
同理，t=0進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動的時間最長為：tmax=

3πm

2qB

所以，帶電粒子在磁場中的運動時間：

πm

2qB

≤t≤

3πm

2qB

．
答：
（1）電壓U₀的大小為U0=

ml2

qt02

．
（2）t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑R=

ml

qBt0

．
（3）帶電粒子在磁場中的運動時間為

πm

2qB

≤t≤

3πm

2qB

．