Question

如圖（a）所示，輪軸的輪半徑為2r，軸半徑為r，它可以繞垂直于紙面的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，圖（b）為輪軸的側(cè)視圖．輪上繞有細(xì)線(xiàn)，線(xiàn)下端系一質(zhì)量為M的重物，軸上也繞有細(xì)線(xiàn)，線(xiàn)下端系一質(zhì)量為m的金屬桿．在豎直平面內(nèi)有間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)平行金屬導(dǎo)軌PQ、MN，在QN之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計(jì)．磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直．開(kāi)始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端，將重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬桿始終與導(dǎo)軌接觸良好．
（1）重物M勻速下降的速度v多大？
（2）對(duì)一定的B，取不同的M，測(cè)出相應(yīng)的M作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的v值，得到實(shí)驗(yàn)圖線(xiàn)如圖（c），實(shí)驗(yàn)中電阻R=0.1Ω，L=1m，則實(shí)驗(yàn)中m和B的值分別為多大？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)輪軸原理，得出M與金屬桿的速度關(guān)系．重物最終勻速下降，重力勢(shì)能減小，金屬桿勻速上升，重力勢(shì)能增加，整個(gè)系統(tǒng)重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為電能，根據(jù)能量守恒定律列式，求解重物M勻速下降的速度．
（2）根據(jù)第1題v的表達(dá)式，分析v-M圖象的斜率，結(jié)合圖象求出橫軸的截距和斜率，即可得到m和B．

解答：解：（1）設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)M的速度為v=v₁，m的速度為v₂，有：
v₁=2v₂ …①
桿所受的安培力：F=BIL…②
回路中的感應(yīng)電流為：=

E

R

…③
桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₂…④
則得：F=

B2L2v2

R

…⑤
根據(jù)能量守恒定律有：
Mgv₁=（F+mg）v₂…⑥
聯(lián)立①⑤⑥解得：v₁=v=

2(2M-m)gR

B2L2

即：v=

4MgR

B2L2

-

2mgR

B2L2

…⑦
（2）圖上當(dāng)v=0時(shí)，M=2kg，所以有：m=2M=4kg…⑧
由圖得：

4gR

B2L2

=

16

10

…⑨
代入數(shù)據(jù)得：B=

10

2

T…⑩
答：（1）重物M勻速下降的速度v為

4MgR

B2L2

-

2mgR

B2L2

．
（2）對(duì)一定的B，取不同的M，測(cè)出相應(yīng)的M作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的v值，得到實(shí)驗(yàn)圖線(xiàn)如圖（c），實(shí)驗(yàn)中電阻R=0.1Ω，L=1m，則實(shí)驗(yàn)中m和B的值分別為4kg，

10

2

T．

點(diǎn)評(píng)：本題中運(yùn)用F=BIL、I=

E

R

、E=BLv推導(dǎo)安培力的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵步驟，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析圖象的信息，得到B₁和B₂的比值，中等難度．