Question

如圖所示，O為豎直平面內(nèi)

1

4

圓弧軌道的圓心，B點(diǎn)的切線剛好沿水平方向．一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，最終落到地面上的C點(diǎn)．已知A點(diǎn)離地面的高度為h，圓弧軌道的半徑為R，重力加速度為g．不計(jì)一切摩擦．求：
（1）滑塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）滑塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）在保證A點(diǎn)位置不變的情況下，改變圓弧軌道
的半徑（總小于h），再讓滑塊從A點(diǎn)由靜止滑下，A點(diǎn)到滑塊落地點(diǎn)的水平距離最大是多少？此時(shí)圓弧軌道的半徑是多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律球場(chǎng)滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出滑塊在B點(diǎn)所受的支持力的大小，從而求出滑塊對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出B點(diǎn)的速度，通過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移的表達(dá)式，從而得出A點(diǎn)到滑塊落地點(diǎn)的水平距離的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)學(xué)函數(shù)方法求解最值．

解答：解：（1）滑塊從A到B的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒得mgR=

1

2

m

v

2 B

解得   vB=

2gR

（2）滑塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)，由向心力公式有N-mg=m

v 2 B

R

解得   N=3mg                                                  
由牛頓第三定律知，滑塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為3mg，方向豎直向下．
（3）設(shè)軌道半徑為r，滑塊從B點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，需時(shí)間t落地，則h-r=

1

2

gt2
平拋的水平距離   x_BC=v_Bt
聯(lián)立解得A、C兩點(diǎn)的水平距離為    xAC=r+xBC=r+2

r(h-r)

令r=hsin²θ，則AC兩點(diǎn)的水平距離為xAC=h(sin2θ+2sinθcosθ)=h(

1-cos2θ

2

+sin2θ)=

h

2

(1-cos2θ+2sin2θ)
令tanφ=

1

2

，則xAC=

h

2

[1+

5

sin(2θ-φ)]，
顯然當(dāng)θ=

π

4

+

φ

2

時(shí)，x_AC有最大值為xm=

5 +1

2

h
此時(shí)  r=hsin2θ=h

1-cos( π 2 +φ)

2

=

1+sinφ

2

h=

5+ 5

10

h
答：（1）滑塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB=

2gR

．
（2）滑塊經(jīng)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為3mg．
（3）A點(diǎn)到滑塊落地點(diǎn)的水平距離最大是xm=

5 +1

2

h，此時(shí)圓弧軌道的半徑是r=

5+ 5

10

h．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，第三問(wèn)對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高．