Question

3．半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°．重力加速度大小為g．
（1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω₀；
（2）ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$＜ω₀，重力和支持力的合力大于向心力，則摩擦力的方向沿罐壁切線向上，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）當摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：
mgtan$θ=mRsinθ{{ω}_{0}}^{2}$，解得
${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）當ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$時，需要的向心力比較小，摩擦力方向沿罐壁切線向上，
根據(jù)牛頓第二定律得，Ncos30°-fcos60°=mRsin60°ω²．
mg=Nsin30°+fsin60°
聯(lián)立兩式解得．$f=\frac{12\sqrt{3}}{25}mg$，$N=\frac{26}{25}mg$
答：（1）小物塊受到的摩擦力恰好為零時，${ω}_{0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$．
（2）當ω=$\sqrt{\frac{2g}{25R}}$時，摩擦力方向沿罐壁切線向上，大小為$\frac{12\sqrt{3}}{25}mg$．

點評 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解．