Question

【題目】如圖所示，光滑的水平面AB與半徑R=0.5m的光滑豎直半圓軌道BCD在B點(diǎn)相切，D點(diǎn)為半圓軌道最高點(diǎn)，A點(diǎn)的右側(cè)連接一粗糙的水平面，用細(xì)線連接甲、乙兩物體，中間夾一輕質(zhì)壓縮彈簧，彈簧與甲、乙兩物體不拴接，甲的質(zhì)量m1=4kg，乙的質(zhì)量m2=5kg，甲、乙均靜止。若燒斷細(xì)線，甲離開(kāi)彈簧后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道，過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰好為零。取g=10m/s2。甲、乙兩物體可看做質(zhì)點(diǎn)，求：

(1)甲離開(kāi)彈簧后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度的大小vB；

(2)燒斷細(xì)線吋彈簧的彈性勢(shì)能EP；

(3)若固定甲，將乙物體換為質(zhì)量為m的物體丙，燒斷細(xì)線，丙物體離開(kāi)彈簧后從A點(diǎn)進(jìn)入動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5的粗糙水平面，AF是長(zhǎng)度為4l的水平軌道，F端與半徑為l的光滑半圓軌道FCH相切，半圓的直徑FH豎直，如圖所示.設(shè)丙物體離開(kāi)彈簧時(shí)的動(dòng)能為6mgl，重力加速度大小為g，求丙物體離開(kāi)圓軌道后落回到水平面BAF上的位置與F點(diǎn)之間的距離s；

(4)在滿足第(3)問(wèn)的條件下，若丙物體能滑上圓軌道，且能從GH間離開(kāi)圓軌道滑落（G點(diǎn)為半圓軌道中點(diǎn))，求丙物體的質(zhì)量的取值范圍

Answer 1

【答案】(1)5m/s；（2）90J；（3）s=4l； （4）

【解析】

（1）甲在最高點(diǎn)D，由牛頓第二定律，有

甲離開(kāi)彈簧運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能守恒：

聯(lián)立解得：vB=5m/s；

（2）燒斷細(xì)線時(shí)動(dòng)量守恒：0=m1v3-m2v2

由于水平面AB光滑，則有v1=vB=5m/s，解得：v2=4m/s

根據(jù)能量守恒，彈簧的彈性勢(shì)能E==90J

（3）甲固定，燒斷細(xì)線后乙物體減速運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度大小為vF，

由動(dòng)能定理得：，解得vF=2

從P點(diǎn)滑到H點(diǎn)時(shí)的速度為vH，由機(jī)械能守恒定律得

聯(lián)立解得vM=2

由于vM=2>，故乙物體能運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)，并從H點(diǎn)以速度vH水平射出。設(shè)乙物體回到軌道AF所需的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：

乙物體回到軌道AF上的位置與B點(diǎn)之間的距離為s=vHt

聯(lián)立解得；

（4）設(shè)乙物體的質(zhì)量為M，到達(dá)F點(diǎn)的速度大小為vF，

由動(dòng)能定理得：，解得vF=

為使乙物體能滑上圓軌道，從GH間離開(kāi)圓軌道，滿足的條件是：

一方面乙物體在圓軌道上的上升高度能超過(guò)半圓軌道的中點(diǎn)G，由能量關(guān)系有：

另一方面乙物體在圓軌道的不能上升到圓軌道的最高點(diǎn)H，由能量關(guān)系有

聯(lián)立解得：