Question

一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m=kg的小球A，另一端掛在光滑水平軸O上，O到小球的距離為L(zhǎng)=0.1 m，小球跟水平面接觸，但無相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個(gè)光滑的斜面和一個(gè)擋板，如圖所示，水平距離s為2 m，動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25.現(xiàn)有一小滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，與小球碰撞時(shí)交換速度，與擋板碰撞不損失機(jī)械能.若不計(jì)空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，g取10 m/s².試問：

（1）若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求此高度h.

（2）若滑塊B從h=5 m處滑下，求滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對(duì)小球的拉力.

（3）若滑塊B從h=5 m處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù).

Answer 1

（1）小球恰能完成一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，它到最高點(diǎn)的速度為v₁,在最高點(diǎn)，僅有重力提供向心力，則有mg=m①

在小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，并設(shè)小球在最低點(diǎn)速度為v，則又有

mv²=mg·2L+mv₁²②

解①②得v= m/s

滑塊從h高處運(yùn)動(dòng)到將與小球碰撞時(shí)速度為v，對(duì)滑塊由能量轉(zhuǎn)化及守恒定律有

mgh=μmg·+mv²

因碰撞后速度交換v=m/s，解上式有h=0.5 m.

（2）若滑塊從h=5 m處下滑到將要與小球碰撞時(shí)速度為u，同理有

mgh=mu²+μmg·③

解得u= m/s

滑塊與小球碰后的瞬間，同理滑塊靜止，小球以u(píng)= m/s的速度開始做圓周運(yùn)動(dòng)，繩的拉力T和重力的合力充當(dāng)向心力，則有T-mg=m ④解④式得T=48 N.

（3）滑塊和小球最后一次碰撞時(shí)速度為v= m/s，滑塊最后停在水平面上，它通過的路程為s′，同理有

mgh=mv²+μmgs′⑤                                

小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為n=+1⑥                         

解⑤⑥得s′=19 m,n=10次.