Question

17．如圖所示“時(shí)空之旅”飛車表演時(shí)，雜技演員架著摩托車，在球形金屬網(wǎng)內(nèi)壁上盤旋，令人驚嘆不已．表演中，演員控制摩托車保持v=20m/s的速率不變，當(dāng)摩托車沿最大豎直圓軌道通過金屬網(wǎng)最高點(diǎn)A時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)功率為零．設(shè)摩托車受到的阻力是摩托車對(duì)軌道壓力的0.1倍，摩托車車身長度不計(jì)，人和車的總質(zhì)量為m=200kg，取g=10m/s²，求：
（1）球形金屬網(wǎng)的半徑；
（2）摩托車沿最大豎直圓軌道通過最低點(diǎn)B時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率；
（3）若摩托車沿金屬網(wǎng)內(nèi)某一水平圓軌道運(yùn)行時(shí)，與軌道間恰好沒有側(cè)向摩擦力，求摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率．

Answer 1

分析 （1）摩托車通過最高點(diǎn)A時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為零，牽引力為零，阻力和軌道對(duì)摩托車的彈力均為零．由重力作為向心力，由向心力的公式可以求得豎直圓軌道的半徑．
（2）由向心力的公式可以求得車通過最低點(diǎn)B時(shí)軌道對(duì)摩托車的支持力，可求出阻力和牽引力，再由瞬時(shí)功率的公式可以求得通過最低點(diǎn)B時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率
（3）摩托車沿金屬網(wǎng)內(nèi)某一水平圓軌道運(yùn)行時(shí)，與軌道間恰好沒有側(cè)向摩擦力，摩托車受重力、支持力、摩擦力，合力提供向心力，可求支持力，在求摩擦力，求功率

解答 解解：（1）由于車在A點(diǎn)時(shí)的功率為0，故車在A點(diǎn)受到的牽引力、阻力和軌道對(duì)摩托車的彈力均為0．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$代入數(shù)據(jù)解得：R=$\frac{{v}^{2}}{g}$=$\frac{2{0}^{2}}{10}$m=40m
（2）設(shè)摩托車在最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的彈力為N_B，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
 N_B-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$解得：N_B=$\frac{m{v}^{2}}{R}$+mg=200×$\frac{2{0}^{2}}{40}$+200×10=4000N
摩托車在B點(diǎn)時(shí)受到的阻力為：f=kN=0.1×4000N=400N
則發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為：F=f=400N
故摩托車在B點(diǎn)時(shí)的功率為：P=Fv=400×20W=8000W
（3）設(shè)摩托車所在圓的切線與水平面夾θ角，摩托車受重力、支持力、摩擦力，
則  N=$\frac{mg}{cosθ}$  Nsinθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    r=Rsinθ  f=0.1N    p=fv
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得  p=2000（$\sqrt{5}+1$）=6470W
答：
（1）豎直圓軌道的半徑為40m．
（2）摩托車通過最低點(diǎn)B時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為8000W
（3）摩托車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率6470W．

點(diǎn)評(píng) 求發(fā)動(dòng)機(jī)的功率時(shí)要注意用瞬時(shí)功率的公式，車在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)對(duì)車受力分析，應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的公式即可求得對(duì)軌道的壓力，由功率公式可求得發(fā)動(dòng)機(jī)的功率