Question

（16分）

如圖所示，五塊完全相同的長木板依次緊挨著放在水平地面上，每塊木板的長度為L=0．5m，質(zhì)量為M=0.6 kg。在第一塊長木板的最左端放置一質(zhì)量為m=0.98 kg的小物塊。已知小物塊與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.2，長木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等。一顆質(zhì)量為m₀=0.02 kg的子彈以的υ₀=150 m/s水平速度擊中小物塊并立即與小物塊一起在長木板表面滑行，重力加速度g取10 m/s²。

（1）分析小物塊滑至哪塊長木板時(shí)，長木板才開始在地面上滑動(dòng)。

（2）求物塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中相對出發(fā)點(diǎn)滑行的最大距離s。

Answer 1

（1）設(shè)子彈、小物塊、長木板的質(zhì)量分別為m₀、M、m，子彈的初速度為v₀，子彈擊中小物塊后二者的共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律

m₀ v₀=(M+ m₀) v₁-------------------------------------------------------------------------------①

子彈擊中小物塊后物塊的質(zhì)量為M^′，且M^′= M+ m₀．設(shè)當(dāng)物塊滑至第n塊木板時(shí)，木板才開始運(yùn)動(dòng)

μ₁M^′g＞μ₂〔M^′+(6－n)m〕g   -----------------------------------------------------------②

其中μ₁、μ₂分別表示物塊與木板間、木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)．

由式解得n＞4.3

即物塊滑上第五塊木板時(shí)，木板才開始在地面上滑動(dòng)．

（2）設(shè)物塊剛滑上第五塊木板時(shí)的速度為v₂，每塊木板的長度為L，由動(dòng)能定理

－μ₁ M^′g×4L=M^′v₂²－M^′v₁²----------------------------------------------------------③

由①②式解得　v₂=1m/s----------------------------------------------------------------------④

物塊在第五塊木板表面做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t，物塊與木板能獲得相同的速度v₃，由動(dòng)量定理

－μ₁ M^′gt=M^′v₃－M^′v₃----------------------------------------------------------------------⑤

〔μ₁ M^′g－μ₂(M^′+m)〕t=m v₃--------------------------------------------------------------⑥

由⑤⑥式解得v₃=m/s-----------------------------------------------------------------------⑦

在此過程中，物塊發(fā)生的位移為s₁，由動(dòng)能定理

－μ₁ M^′g s₁=M^′v₃²－M^′v₂²------------------------------------------------------------⑧

解得s₁=m＜0.5m

即物塊與木板獲得m/s的共同速度，之后整體向前勻減速運(yùn)動(dòng)s₂后靜止．

由動(dòng)能定理

－μ₂ （M^′+m）g s₂=－(M^′+m)v₃² ------------------------------------------------------⑨

解得s₂=m

所以物塊總共發(fā)生的位移s=4L+ s₁+ s₂ ----------------------------------------------------⑩

解得s≈2.27m　--------------------------------------------------------------------------------