Question

16．如圖甲所示，M、N為平行極板，極版M和擋飯AB間有垂直于紙向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，M板與AN板間的夾角為60°，N板附近有一粒子源，可以不斷的釋放初速度為零，電量為q，質(zhì)量為m的帶負(fù)電的粒子，在MN板上加如圖乙所示的電壓后，粒子可以在電場(chǎng)力的作用下加速，從M板的中點(diǎn)處小孔O垂直于M極板進(jìn)入磁場(chǎng)，電壓的最大值為U，周期為T，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間遠(yuǎn)小于T，以最大速度進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后剛好能垂直打在擋板AB上，不計(jì)粒子重力，求：

（1）M板的長(zhǎng)度；
（2）若使原來(lái)的磁場(chǎng)撤去，在AB擋板上方加一垂直紙面向外的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，要使所有的粒子都能垂直打在AB板上，矩形磁場(chǎng)的面積至少多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做的功等于粒子動(dòng)能的增加，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，最后根據(jù)板長(zhǎng)與軌道半徑的關(guān)系，求出板長(zhǎng)
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度加倍，半徑變?yōu)樵瓉?lái)$\frac{1}{2}$，矩形磁場(chǎng)邊界問(wèn)題，粒子射入和射出與邊界夾角相等，作出速度最大的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，利用幾何關(guān)系求出矩形的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而求出面積．

解答 解：（1）經(jīng)最大加速電壓加速的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度最大
$q{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$得${v}_{m}^{\;}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}$
此粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后剛好能垂直打在擋板上，則此粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在A點(diǎn)，半徑等于OA的長(zhǎng)，$q{v}_{m}^{\;}B=m\frac{{v}_{m}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{m}^{\;}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}^{\;}}{q}}$
由于O點(diǎn)是M板的中點(diǎn)，因此M板的長(zhǎng)度為d=2${R}_{1}^{\;}$=$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}^{\;}}{q}}$
（2）如果加一反向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，速度最大的粒子在其中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑${R}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}{R}_{1}^{\;}=\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}^{\;}}{q}}$
由圖可知，矩形磁場(chǎng)ab邊的長(zhǎng)為$2{R}_{3}^{\;}$，bc邊的長(zhǎng)為${R}_{3}^{\;}+{R}_{3}^{\;}cos30°$，因此矩形磁場(chǎng)的面積至少為
$S=2{R}_{3}^{\;}（{R}_{3}^{\;}+\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{3}^{\;}）$=$（2+\sqrt{3}）{R}_{3}^{2}=\frac{（2+\sqrt{3}）m{U}_{0}^{\;}}{2q{B}_{\;}^{2}}$
答：（1）M板的長(zhǎng)度$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}^{\;}}{q}}$；
（2）矩形磁場(chǎng)的面積至少為$\frac{（2+\sqrt{3}）m{U}_{0}^{\;}}{2q{B}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析粒子的情況，確定其運(yùn)動(dòng)的軌跡，解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，養(yǎng)成畫草圖的習(xí)慣，明確題意才能準(zhǔn)確利用洛倫茲力提供向心力及幾何關(guān)系進(jìn)行求解．