Question

2012年6月16日下午6時37分神舟九號載人飛船搭載三名宇航員順利升空，完成與天宮一號自動、手動對接等一系列任務后安全返回地面，這一科技成就標志我國航天技術取得新突破．已知飛船在繞地球飛行N圈，用時ts后進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨葹閔的圓形軌道．地球半徑R，表面處的重力加速度為g．
（1）用題中數據導出第一宇宙速度；
（2）飛船在上述圓軌道上運行的周期及角速度．

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度的軌道半徑等于地球的半徑，根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根據萬有引力提供向心力求出飛船在圓軌道上運行的周期，從而根據周期和角速度的關系求出角速度的大小．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力得，G

Mm

R2

=m

v2

R

…①
根據萬有引力等于重力得，G

Mm

R2

=mg…②
由①②得，v=

gR

．
（2）根據萬有引力提供向心力得，G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

解得T=

2π

R

(R+h)3 g

．
則角速度ω=

2π

T

=

R

(R+h)2 g

．
答：（1）第一宇宙速度的大小為v=

gR

；
（2）飛船在上述圓軌道上運行的周期T=

2π

R

(R+h)3 g

，角速度為

R

(R+h)2 g

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩大理論，并能靈活運用，知道第一宇宙速度的軌道半徑等于地球的半徑．