4.電容器是一種重要的電學(xué)元件,基本工作方式就是充電和放電.由這種充放電的工作方式延伸出來的許多電學(xué)現(xiàn)象,使得電容器有著廣泛的應(yīng)用.如圖1所示,電源與電容器、電阻、開關(guān)組成閉合電路.已知電源電動勢為E,內(nèi)阻不計,電阻阻值為R,平行板電容器電容為C,兩極板間為真空,兩極板間距離為d,不考慮極板邊緣效應(yīng).
(1)閉合開關(guān)S,電源向電容器充電.經(jīng)過時間t,電容器基本充滿.
a.求時間t內(nèi)通過R的平均電流$\overline{I}$;
b.請在圖2中畫出充電過程中電容器的帶電量q隨電容器兩極板電壓u變化的圖象;并求出穩(wěn)定后電容器儲存的能量E0
(2)穩(wěn)定后斷開開關(guān)S.將電容器一極板固定,用恒力F將另一極板沿垂直極板方向緩慢拉開一段距離x,在移動過程中電容器電量保持不變,力F做功為W;與此同時,電容器儲存的能量增加了△E.請推導(dǎo)證明:W=△E.要求最后的表達(dá)式用已知量表示.

分析 (1)a.電容器基本充滿時,電容器兩端電壓等于電源的電動勢,根據(jù)電容的定義 C=$\frac{Q}{U}$、U=E可以得出t內(nèi)通過R的電荷量Q,再根據(jù)電流強(qiáng)度的定義 $\overline{I}$=$\frac{Q}{t}$ 可以解得平均電流
b.根據(jù)Q=CU,可知圖象為經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線,且U的最大值為E.
(2)極板在移動過程中板間場強(qiáng)不變,兩極板間的相互作用力為恒力,求出恒力F′后,在根據(jù)功的定義式:W=F′x可以求出W;再根據(jù)(1)E0的表達(dá)式就可以得出初、末狀態(tài)電容器儲存的能量,再求出△E,進(jìn)而得證:W=△E.

解答 解:(1)a.設(shè)充電完畢電容器所帶電量為Q,即時間t內(nèi)通過電阻R的電量,此時電容器兩端電
壓等于電源的電動勢,根據(jù)電容的定義   C=$\frac{Q}{U}$    U=E
根據(jù)電流強(qiáng)度的定義  $\overline{I}$=$\frac{Q}{t}$  解得平均電流 $\overline{I}$=$\frac{CE}{t}$      
b.根據(jù)q=Cu,畫出q-u圖象如圖1所示   
由圖象可知,圖線與橫軸所圍面積即為電容器儲存的能量,
如圖2中斜線部分所示
由圖象求出電容器儲存的電能  E0=$\frac{1}{2}$EQ   將Q=CU、U=E代入
得:E0=$\frac{1}{2}$CE2     
(2)設(shè)兩極板間場強(qiáng)為  E′,兩極板正對面積為S
根據(jù) E′=$\frac{U}mi20ekg$=$\frac{Q}{Cd}$,將 C=$\frac{S}{4kπd}$代入得:E′=$\frac{4kπQ}{S}$,可知極板在移動過程中板間場強(qiáng)不變,兩極板間的相互作用力為恒力.兩板間的相互作用可以看作負(fù)極板電荷處于正極板電荷產(chǎn)生的電場中,可知兩板間的相互作用力F′=$\frac{1}{2}$E′Q                 
緩慢移動時有    F=F′
根據(jù)功的定義有   W=F′x=$\frac{1}{2}$E′Qx   將 E′=$\frac{4kπQ}{S}$代入              
得:W=$\frac{2kπQ{\;}^{2}}{S}$x=$\frac{CE{\;}^{2}}{2d}$x                  
電容器增加的能量△E=$\frac{Q2}{2C′}$-$\frac{Q{\;}^{2}}{2C}$ 將 C=$\frac{S}{4kπd}$、C′=$\frac{S}{4Kπ(d+x)}$  代入
得:△E=$\frac{2KπQ{\;}^{2}}{S}$x=$\frac{CE{\;}^{2}}{2d}$x               
所以W=△E.
答:(1)a.時間t內(nèi)通過R的平均電流$\overline{I}$=$\frac{CE}{t}$; 圖象如圖1所示  (b).圖象如圖2所示;穩(wěn)定后電容器儲存的能量E0=$\frac{1}{2}$CE2. 
        (2)W=△E

點(diǎn)評 此題難度較大,既考查了電容器的基本定義式C=$\frac{Q}{U}$,有考查在移動過程中極板間場強(qiáng)不變,兩極板間的相互作用力為恒力,這個過程中做的功等于電容器儲存的能量.

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