Question

如圖所示，一個(gè)矩形線圈的ab、cd邊長(zhǎng)為L(zhǎng)₁，ad、bc邊長(zhǎng)為L(zhǎng)₂，線圈的匝數(shù)為N，線圈處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并以O(shè)O′為中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（OO′與磁場(chǎng)方向垂直，線圈電阻不計(jì)），線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，若線圈從中性面開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)用法拉第電磁感應(yīng)定律證明該線圈產(chǎn)生的是正弦交流電．
（2）用該線圈產(chǎn)生的交流電通入電阻為R的電動(dòng)機(jī)時(shí)，形成的電流有效值為I，請(qǐng)計(jì)算該電動(dòng)機(jī)的輸出的機(jī)械功率（其它損耗不計(jì)）．
（3）用此電動(dòng)機(jī)將豎直固定的光滑U型金屬框架上的水平導(dǎo)體棒EF從靜止向上拉，已知導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，U型金屬框架寬為L(zhǎng)且足夠長(zhǎng)，內(nèi)有垂直向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，導(dǎo)體棒上升高度為h時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為t，且此時(shí)導(dǎo)體棒剛開始勻速上升，棒有效電阻為R₀，金屬框架的總電阻不計(jì)，棒與金屬框架接觸良好，請(qǐng)計(jì)算：
①導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度和已知量的關(guān)系．
②若t時(shí)刻導(dǎo)體棒的速度為v₀，求t時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒與金屬框架產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）矩形線圈的ab、cd切割磁感線，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式e=BLvsinα推導(dǎo)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值表達(dá)式．
（2）根據(jù)能量守恒定律得到：電動(dòng)機(jī)的輸出的機(jī)械功率P_機(jī)=P_入-P_Q=UI-I²R，U是電壓有效值．
（3）①電機(jī)帶導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)，電動(dòng)機(jī)的牽引力與導(dǎo)體棒的重力和安培力的合力平衡，推導(dǎo)導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度和已知量的關(guān)系式．
②對(duì)導(dǎo)體棒，電動(dòng)機(jī)牽引力做正功，安培力和重力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理列方程，求出導(dǎo)體棒克服安培力做的功，即導(dǎo)體棒與金屬框架產(chǎn)生的焦耳熱．

解答：解：
（1）證明：
如圖所示，邊長(zhǎng)L₁切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)
   e₁=BL₁V_⊥=BL₁Vsinωt   
   而線速度V=

L2ω

2

則e₁=BL₁

L2ω

2

sinωt  
因有線圈兩個(gè)邊切割，且有N匝
所以e=2Ne₁=NBL₁L₂ωsinωt      
即：e=E_msinωt，其中E_m=NBL₁L₂ω．
（2）電流通過(guò)電動(dòng)機(jī)時(shí)，輸入的功率
P_入=UI=

NBL1L2ω

2

I            
由能量守恒知：
  P_入=P_Q+P_機(jī)
∴機(jī)械功率P_機(jī)=

NBL1L2ω

2

I-I²R           
（3）①電機(jī)帶導(dǎo)體棒勻速上升．受力如圖
由平衡條件得  F=B₀IL+mg  
  又I=

B0Lv

R0

，F(xiàn)=

P

v

  
得到

P

v

=mg+

B 2 0 L2v

R0

即：

NBL1L2ω

2

I-I²R=mgv+

B 2 0 L2v

R0

v 
②對(duì)上升h應(yīng)用動(dòng)能定理：
Pt-W-mgh=

1

2

mv₀²-0        
得  Q=W=Pt-mgh-

1

2

mv₀² 
Q=（

NBL1L2ω

2

I-I²R）t-mgh-

1

2

mv₀²
答：
（1）證明見上．
（2）電動(dòng)機(jī)的輸出的機(jī)械功率為

NBL1L2ω

2

I-I²R．
（3）①導(dǎo)體棒勻速上升時(shí)的速度和已知量的關(guān)系是

NBL1L2ω

2

I-I²R=mgv+

B 2 0 L2v

R0

v．
     ②t時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體棒與金屬框架產(chǎn)生的焦耳熱是（

NBL1L2ω

2

I-I²R）t-mgh-

1

2

mv₀²．

點(diǎn)評(píng)：本題問(wèn)題較多，所用物理知識(shí)并不復(fù)雜，主要是電磁感應(yīng)、電路、磁場(chǎng)和力學(xué)知識(shí)，只要基本功扎實(shí)，并不困難．