Question

如圖所示，在Oxy平面的第一象限和第二象限區(qū)域內(nèi)，分別存在場強大小均為E的勻強電場Ⅰ和Ⅱ，電場Ⅰ的方向沿X軸正方向，電場Ⅱ的方向沿Y軸的正方向．在第三象限內(nèi)存在著垂直于Oxy平面的勻強磁場Ⅲ，Q點的坐標為（-x₀，0）．已知電子的電量為-e，質量為m（不計電子所受熏力）．
（1）在第一象限內(nèi)適當位置由靜止釋放電子，電子經(jīng)勻強電場Ⅰ和Ⅱ后恰能透過Q點．求釋放點的位置坐標x、y應滿足的關系式；
（2）若要電子經(jīng)勻強電場Ⅰ和Ⅱ后過Q點時動能最小，電子應從第一象限內(nèi)的哪點由靜止釋放？求該點的位置和過Q點時的最小動能．
（3）在滿足條件（2）的情況下，若想使電子經(jīng)過Q后再次到達y軸時離坐標原點的距離為x₀，求第三象限內(nèi)的勻強磁場的磁感應強度B的大小和方向．

Answer 1

分析：分析電子在電場中的受力情況，由動能定理和運動學公式，由幾何關系可求解；
用假設法先判斷勻強磁場的方向，并結合受力情況畫出電子的運動軌跡，由動能定理和牛頓第二定律，利用幾何關系可求得B的大�。�

解答：解：（1）設電子從第一象限內(nèi)坐標為（x，y）處由靜止釋放能過Q點，到達y軸時的速度為v₀
由動能定理得：eEx=

1

2

m

v

2 0

    ①
若能到達Q點，則應滿足：y=

1

2

at2 ②
x₀=v₀t  ③
a=

eE

m

  ④
聯(lián)立①②③④得：xy=

x02

4

  ⑤
（2）由動能定理得：電子從P點由靜止釋放，經(jīng)勻強電場I和Ⅱ后過Q點時動能：E_x=eE（x+y）  ⑥
而

x+y

2

≥

xy

（當x=y時取“=”）    ⑦
由⑤⑥⑦得：Ek≥2eE

xy

=eEx0（當x=y=

x0

2

時取“=”） ⑧
所以電子從第一象限內(nèi)的P(

x0

2

，

x0

2

)點由靜止釋放過Q點時動能最小，過Q點時的最小動能是eEx₀
（3）若勻強磁場Ⅲ方向垂直紙面向里，則電子左偏，不會再到達y軸，所以勻強磁場方向垂直紙面向外．運動軌跡如圖，則

tanθ=

vx

vy

而vy=

2 eE m y

，vx=

2 eE m x

在滿足條件（2）的情況下tanθ=

vx

vy

=1
所以θ=45°⑨
設在勻強磁場Ⅲ中做勻速圓周運動的半徑為r，到達y軸上的A點，結合題中條件可推知，電子在磁場中運動的軌跡應為以QA為直徑的半圓，OA=x₀，由幾何知識知：r≡

2

2

x0   ⑩
設到達Q點的速度為v₁，則 eEx0=

1

2

mv12  （11）
解得：v1=

2eEx0 m

 （12）
根據(jù)牛頓第二定律得：ev1B=m

v12

r

解得：B=

mv1

er

  （13）
把v₁和r的值代入，第三象限內(nèi)的勻強磁場的磁感應強度 B=2

mE ex0

  （14）
答：（1）釋放點的位置坐標x、y應滿足的關系式xy=

x02

4

；
（2）若要電子經(jīng)勻強電場Ⅰ和Ⅱ后過Q點時動能最小，電子從第一象限內(nèi)的P(

x0

2

，

x0

2

)點由靜止釋放過Q點時動能最小，過Q點時的最小動能是eEx₀
（3）在滿足條件（2）的情況下，若想使電子經(jīng)過Q后再次到達y軸時離坐標原點的距離為x₀，第三象限內(nèi)的勻強磁場的磁感應強度B=

mv1

er

，勻強磁場方向垂直紙面向外．

點評：本題主要考查了帶點粒子在混合場中運動的問題，要求能夠正確分析電子的受力情況，再通過受力情況分析其運動情況，熟練掌握平拋運動和圓周運動的基本公式，用幾何關系解題，難度較大．