Question

5．專家稱嫦娥四號(hào)探月衛(wèi)星為“四號(hào)星”，計(jì)劃在2017年發(fā)射升空，它的主要任務(wù)是更深層次、更全面地科學(xué)探測(cè)月球地貌等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，嫦娥四號(hào)開始探測(cè)時(shí)與月球中心的距離為r，根據(jù)以上信息求
（1）引力常量G=？
（2）嫦娥四號(hào)的運(yùn)行速度V=？

Answer 1

分析 月球表面的重力與萬有引力相等，繞月球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，據(jù)此列式計(jì)算．

解答 解：（1）設(shè)月球的半徑為R，由重力等于萬有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg
其中月球質(zhì)量：M=$\frac{4}{3}$πR³ρ
聯(lián)立解得：g=$\frac{4}{3}$πRGρ  
可解得萬有引力常量G=$\frac{3g}{4πρR}$
（2）由萬有引力提供向心力，得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，
聯(lián)立可得：v=$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{r}}$
答：（1）引力常量G=$\frac{3g}{4πρR}$
（2）嫦娥四號(hào)的運(yùn)行速度V=$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{r}}$

點(diǎn)評(píng) 月球表面的重力與萬有引力相等，衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，這個(gè)是萬有引力問題經(jīng)常用的表達(dá)式．