Question

12．如圖，豎直面（紙面）內(nèi)的矩形abcd區(qū)域里有水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，ab水平，O是cd的中點(diǎn)．若將一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電的小球在矩形區(qū)域里由靜止釋放，小球的速度與豎直方向夾角為37°．現(xiàn)將該小球從O點(diǎn)以初速度v₀豎直向上拋出（不計(jì)空氣阻力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g）
（1）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過程中，恰好不出矩形區(qū)域，求ab和bc的長(zhǎng)度；
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過程中，求電勢(shì)能的改變量．

Answer 1

分析 當(dāng)小于在矩形區(qū)域內(nèi)自由釋放時(shí)，小球做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由題設(shè)條件就能求出電場(chǎng)力的大小和方向；當(dāng)小球從O點(diǎn)豎直向上拋出進(jìn)，豎直方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向--電場(chǎng)方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．因?yàn)闆]有考慮返回過程的問題，當(dāng)小球上升到最高點(diǎn)的豎直速度減為零，從而求出兩個(gè)方向的位移，也就求出了要使小球到達(dá)最高點(diǎn)矩形的長(zhǎng)、寬．

解答 解：（1）根據(jù)題設(shè)條件，電場(chǎng)力大小為：
F=mgtan37°=$\frac{3}{4}mg$
  小球沿豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，上長(zhǎng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為：t=$\frac{{v}_{0}}{g}$ 
  上升的最大高度為：y=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$   
  故bc的長(zhǎng)度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$  
  沿水平方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：a=$\frac{F}{m}=\frac{3}{4}g$  
  小球此過程小球沿水平方向的位移為：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8g}$
  故ab的長(zhǎng)度為：2x=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{4g}$
（2）電場(chǎng)力做正功，小球的電勢(shì)能減小，小球電勢(shì)能的減小量為：
△E=Fx=$\frac{3}{4}mg×\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8g}$=$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{32}$ 
答：（1）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過程中，恰好不出矩形區(qū)域，ab和bc的長(zhǎng)度分別為$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{4g}$、$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$．
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過程中，電勢(shì)能的改變量為$\frac{9m{{v}_{0}}^{2}}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察的是運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題，由于兩個(gè)方向均受力，在兩個(gè)方向由牛頓第二定律求出加速度，再應(yīng)用勻變速度直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出位移．也就知道矩形的長(zhǎng)與寬；電勢(shì)能的改變量是電場(chǎng)力做的功，這樣第二問也很容易求出．