Question

18．（1）一物體靜止在某半徑為R的球形天體表面的赤道上，若當(dāng)該天體的自轉(zhuǎn)周期為T時(shí)，物體對(duì)天體表面的壓力恰好為零，已知引力常量為G，試求該天體的質(zhì)量
（2）對(duì)于第（1）問中天體，若該天體的自轉(zhuǎn)周期為2$\sqrt{2}$T，試求該天體同步衛(wèi)星離地面是距離．

Answer 1

分析 （1）天體對(duì)物體的萬有引力恰好提供物體隨天體自轉(zhuǎn)的向心力，根據(jù)周期與半徑求得天體的質(zhì)量M；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得同步衛(wèi)星的軌道半徑從而求得距天體的地面的距離．

解答 解：（1）由題意知，天體對(duì)物體的萬有引力提供物體隨天體自轉(zhuǎn)的向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得天體質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）天體對(duì)同步衛(wèi)星的萬有引力提供同步衛(wèi)星繞天體運(yùn)動(dòng)的向心力，令同步衛(wèi)星距地面的高度為h，則同衛(wèi)星的軌道半徑r=R+h則有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
即：$\frac{GmM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{（2\sqrt{2}T）^{2}}$
可得h=$\root{3}{\frac{GM（2\sqrt{2}T）^{2}}{4{π}^{2}}}$-R=$\root{3}{\frac{G\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}×8{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=R
答：（1）天體的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；（2）該天體同步衛(wèi)星離地面的距離是R．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力是解決本題關(guān)鍵突破口，注意軌道半徑與衛(wèi)星距地面高度的不同．