Question

19．如圖所示，一光滑圓錐體固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一條不計質量、長為L的繩（L＜OA）一端固定在頂點O，另一端拴一質量為m的物體（看作質點）．物體以速度v繞圓錐體的軸線OC在水平面內作勻速圓周運動．
求：（1）當v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時繩對物體的拉力．
（2）當v=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$時，若繩子與OC的夾角為α，求出繩對物體的拉力的表達式．

Answer 1

分析 求出物體剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律求出該臨界速度．當速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：當物體離開錐面時：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$，
（1）v₁＜v時，有：${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得：${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$，
（2）v₂＞v時，球離開錐面，設線與豎直方向上的夾角為α，
則T₂cosα-mg=0
${T}_{2}sinα=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，
R₂=Lsinα
解得：T₂=2mg．
答：（1）當v=$\sqrt{\frac{1}{6}gL}$時繩對物體的拉力為$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．
（2）當v=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$時，若繩子與OC的夾角為α，繩對物體的拉力的表達式T₂=2mg．

點評 解決本題的關鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運用牛頓第二定律求解．