Question

如圖是一高山滑雪運(yùn)動場中的滑道，BD附近是很小的一段曲道，可認(rèn)為是半徑均為R=40m的兩圓滑連接的圓形滑道，B點(diǎn)和D點(diǎn)是兩圓弧的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，圓弧長度遠(yuǎn)小于斜面BC長度，一個(gè)質(zhì)量m=60kg的高山滑雪運(yùn)動員，從A點(diǎn)由靜止開始沿滑道滑下，剛好能從B點(diǎn)水平拋出，已知AB兩點(diǎn)間的高度差為h=25m，滑道的傾角θ=37°，取g=10m/s²．求：
（1）運(yùn)動員在B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）若BD之間的高度差可忽略不計(jì)，求運(yùn)動員在D點(diǎn)對軌道的壓力；
（3）運(yùn)動員從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功；
（4）運(yùn)動員在BC斜面的落點(diǎn)C到B點(diǎn)的距離（B點(diǎn)可認(rèn)為是斜面上的最高點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）要使運(yùn)動員從B點(diǎn)平拋則應(yīng)使重力小于等于向心力，則可得出臨界速度；
（2）D點(diǎn)時(shí)合外力充當(dāng)向心力，則由向心力公式可得出運(yùn)動員在D點(diǎn)對軌道的壓力；
（3）由動能定理可求得從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中克服摩擦力做的功；
（4）運(yùn)動員做平拋運(yùn)動，則運(yùn)動的合成與分解結(jié)合幾何知識可得出BC間的距離．

解答：解：（1）剛好從圓弧最高點(diǎn)B平拋的條件是：mg=m

v 2 B

R

得：v_B=

gR

=20m/s．
（2）由于v_D≈v_B且在D點(diǎn)有：
N-mg=m

v 2 D

R

解得：N=mg+m

v 2 D

R

=1200N
（3）在A到B段應(yīng)用動能定理：mgh-Wf=

1

2

m

v

2 B

-0
得克服摩擦力做功：W_f=3000J
（4）由于tanθ=

y

x

=

1 2 gt

vB

得：t=3s．
代入水平方向上：
x=v_Bt=60m． 
由幾何關(guān)系可知：
 L=

x

cosθ

=75m．
答：（1）B點(diǎn)的速度為20m/s；
（2）運(yùn)動員對軌道的壓力為1200N；
（3）運(yùn)動員克服摩擦力做功為3000J；
（4）BC間的距離為75m．

點(diǎn)評：本題中在B點(diǎn)要明確重力充當(dāng)向心力，即為圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的臨界條件，也是物體做平拋運(yùn)動的臨界值的最小條件．