Question

（2007?廈門模擬）天文工作者觀測(cè)到某行星的半徑為R₁，自轉(zhuǎn)周期為T₁，它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉(zhuǎn)周期為T₂．若萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）該行星的平均密度；
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆質(zhì)量為m的近地人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，且設(shè)行星上無(wú)氣體阻力，則對(duì)衛(wèi)星至少應(yīng)做多少功？

Answer 1

分析：根據(jù)萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可以列式求出行星的質(zhì)量M，進(jìn)一步求密度；在赤道上發(fā)射近地衛(wèi)星，同樣根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出衛(wèi)星的發(fā)射速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求出發(fā)射衛(wèi)星過程中所做的功．

解答：解：（1）衛(wèi)星與行星之間的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星繞行星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：

GM行星m

R 2 2

=m(

2π

T2

)2R2
解得M行星=

4π2R23

GT22

又∵V行星=

4

3

πR13
∴ρ=

M行星

V行星

=

4π2R23 GT22

4 3 πR13

=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

（2）質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在靠近行星表面繞行時(shí)，可認(rèn)為其軌道半徑為R₁，設(shè)繞行速度為v，由萬(wàn)有引力提供向心力有：

GM行星m

R 2 1

=

mv2

R1

所以v=

GM行星 R1

把（1）中解得質(zhì)量代入得：v=

4π2R23 T22R1

該人造衛(wèi)星在此行星表面隨行星一起自轉(zhuǎn)：v0=

2πR1

T 1

發(fā)射衛(wèi)星時(shí)至少應(yīng)對(duì)它做的功為W，由動(dòng)能定理得：
發(fā)射過程對(duì)衛(wèi)星做的功等于衛(wèi)星動(dòng)能的增量：W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

=

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2 R 2 1

T 2 1

答：（l）該行星的密度為

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

．
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆質(zhì)量為m的近地人造衛(wèi)星，使其軌道平面與行星的赤道平面重合，且設(shè)行星上無(wú)氣體阻力，則對(duì)衛(wèi)星至少應(yīng)做功為：

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2 R 2 1

T 2 1

．

點(diǎn)評(píng)：解決問題的關(guān)鍵是萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，另要知道相對(duì)地面的靜止的物體是有和自轉(zhuǎn)速度相同的初速度的這一點(diǎn)是解決本題第二問的關(guān)鍵．