Question

目前，我國正在實施“嫦娥奔月”計劃．如圖所示，登月飛船以速度v₀繞月球做圓周運動，已知飛船質(zhì)量為m＝1.2×10⁴ kg，離月球表面的高度為h＝100 km，飛船在A點突然向前做短時間噴氣，噴氣的相對速度為u＝1.0×10⁴ m/s，噴氣后飛船在A點的速度減為v_A，于是飛船將沿新的橢圓軌道運行，最終飛船能在圖中的B點著陸(A、B連線通過月球中心，即A、B兩點分別是橢圓的遠(yuǎn)月點和近月點)，試問：

(1)飛船繞月球做圓周運動的速度v₀是多大？

(2)由開普勒第二定律可知，飛船在A、B兩處的面積速度相等，即r_Av_A＝r_Bv_B，為使飛船能在B點著陸，噴氣時需消耗多少燃料？已知月球的半徑為R＝1700 km，月球表面的重力加速度為g＝1.7 m/s²(選無限遠(yuǎn)處為零勢能點，物體的重力勢能大小為E_p＝)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)當(dāng)飛船以v0繞月球做半徑為rA＝R＋h的 　　圓周運動時，由牛頓第二定律得， 　　(2分) 　　則(2分) 　　式中M表示月球的質(zhì)量，R為月球的半徑，為月球表面的重力加速度， 　　所以代入數(shù)據(jù)得，v0＝1652 m/s(2分) 　　(2)根據(jù)開普勒第二定律，飛船在A、B兩處的面積速度相等，所以有rAvA＝rBvB， 　　即(R＋h)vA＝RvB　�、佟　�(2分) 　　由機械能守恒定律得，　�、凇　�(2分) 　　由①②式并代入數(shù)據(jù)得，vA＝1628 m/s(2分) 　　故登月所需速度的改變量為m/s(2分) 　　飛船在A點噴氣前后動量守恒，設(shè)噴氣總質(zhì)量為⊿m，因噴氣前的動量為mv0，噴氣后的動量為(m－⊿m)vA＋⊿m(v0＋u)，前后動量相等， 　　故有mv0＝(m－⊿m)vA＋⊿m(v0＋u)，(2分) 　　故噴氣所消耗的燃料的質(zhì)量為⊿m＝m⊿v/(u＋⊿v)＝28.7 kg(2分)