Question

3．如圖甲所示，空間存在B=0.5T，方向豎直向下的勻強磁場，MN、PQ是相互平行的粗糙的長直導軌，處于同一水平面內(nèi)，其間距L=0.2m，R是連在導軌一端的電阻，ab是跨接在導軌上質(zhì)量m=0.1kg的導體棒，從零時刻開始，通過一小型電動機對ab棒施加一個牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導軌做直線運動，此過程中棒始終保持與導軌垂直且接觸良好，圖乙是棒的速度-時間圖象，其中OA段是直線，AC是曲線，DE是曲線圖象的漸近線，小型電動機在12s末達到額定功率P=4.5W，此后功率保持不變．除R以外，其余部分的電阻均不計，g=10m/s²．

（1）求導體棒在0～12s內(nèi)的加速度大��；
（2）求導體棒與導軌間的動摩擦因數(shù)μ及電阻R的阻值；
（3）若t=17s時，導體棒ab達最大速度，且0～17s內(nèi)共發(fā)生位移100m，試求12s～17s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）導體棒在0-12s內(nèi)做勻加速運動，由圖象的斜率求解加速度．
（2）乙圖中A點：由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL推導出安培力的表達式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達式；圖中C點：導體棒做勻速運動，由平衡條件再得到含μ和R的表達式，聯(lián)立求出μ和R．
（3）由圖象的“面積”求出0-12s內(nèi)導體棒發(fā)生的位移，0-17s內(nèi)共發(fā)生位移100m，求出AC段過程發(fā)生的位移，由能量守恒定律求解12-17s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）由圖乙可知，導體棒在0～12s內(nèi)的加速度為：$a=\frac{△v}{△t}=\frac{9}{12}m/{s^2}=0.75m/{s^2}$
（2）由題意結(jié)合乙圖知，在12s末時，對ab棒進行受力分析可知：$\frac{P}{v_A}-μmg-{F_{安1}}=ma$
其中有：${F_{安1}}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_A}}}{R}$
ab棒達到最大速度時，受力滿足：$\frac{P}{v_E}-μmg-{F_{安2}}=0$
其中：${F_{安2}}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_E}}}{R}$
聯(lián)立解之得：μ=0.2，R=0.4Ω
（3）有乙圖知，ab棒在0～12s時間內(nèi)，發(fā)生的位移為：${x_1}=\frac{v_A}{2}{t_1}=\frac{1}{2}×9×12m=54m$，
所以ab棒在12s～17s時間內(nèi)發(fā)生的位移為：x₂=x-x₁=（100-54）m=46m
根據(jù)能量守恒可知：Q=Pt₂-μmgx₂-△E_k，
其中：$△E=\frac{1}{2}m{v_E}^2-\frac{1}{2}m{v_A}^2$
聯(lián)立解之得：Q=12.35J
答：（1）導體棒在0-12s內(nèi)的加速度大小是0.75m/s²；
（2）導體棒與導軌間的動摩擦因數(shù)是0.2，電阻R的阻值是0.4Ω；
（3）12-17s內(nèi)，R上產(chǎn)生的熱量是12.35J．

點評 本題與力學中汽車勻加速起動類似，關(guān)鍵要推導安培力的表達式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結(jié)合進行求解．