Question

18．根據(jù)玻爾理論，電子繞氫原子核運(yùn)動(dòng)可以看作是僅在庫(kù)侖引力作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，靜電力常量為k．
（1）電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為環(huán)形電流，試計(jì)算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及形成的等效電流的大小；
（2）氫原子在不同的能量狀態(tài)，對(duì)應(yīng)著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑滿足r_n=n²r₁，其中n為量子數(shù)，即軌道序號(hào)，r_n為電子處于第n軌道時(shí)的軌道半徑．電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量E_n為電子動(dòng)能與“電子-原子核”這個(gè)系統(tǒng)電勢(shì)能的總和．理論證明，系統(tǒng)的電勢(shì)能E_p和電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r存在關(guān)系：E_p=-k$\frac{{e}^{2}}{r}$（以無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)能零點(diǎn)）．請(qǐng)根據(jù)以上條件完成下面的問(wèn)題．
試證明電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量E_n和電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量E₁滿足關(guān)系式E_n=E₁/n²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫(kù)侖力提供向心力，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)周期的公式，再由電流表達(dá)式，即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合動(dòng)能與電勢(shì)能表達(dá)式，從而確定各軌道的能級(jí)，最后由能量守恒定律，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，形成的等效電流大小為I₁，
根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{k{e}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}$
有${T}_{1}=\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{r}_{1}^{3}}{k}}$               
又因?yàn)?{I}_{1}=\frac{e}{{T}_{1}}$ 
有I₁=$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{r}_{1}^{3}}}$  
（2）①設(shè)電子在第1軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₁，根據(jù)牛頓第二定律有
$k\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$ 
電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量 E₁=-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{1}}+\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{1}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{1}}$ 
同理，電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量  E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{n}}$+$\frac{k{e}^{2}}{2{r}_{n}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$
又因?yàn)?nbsp;r_n=n²r₁
則有 E_n=-k$\frac{{e}^{2}}{2{r}_{n}}$=-k$\frac{{e}^{2}}{2{n}^{2}{r}_{1}}$=$\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$ 命題得證．
答：（1）電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可等效為環(huán)形電流，試計(jì)算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期及形成的等效電流的大��；
（2）證明如上所述．

點(diǎn)評(píng) 考查庫(kù)侖定律，掌握牛頓第二定律的應(yīng)用，注意原子核的電量與電子電量相等，同時(shí)各軌道的能量是解題的關(guān)鍵，還要掌握能量守恒定律的內(nèi)容．