Question

19．如圖所示，在XOY坐標系內(nèi)有垂直于XOY所在平面的范圍足夠大的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．某時刻有兩個粒子P、Q分別從坐標原點O及X軸上的Q點同時開始運動．兩粒子帶同種電荷，帶電量均為q，質(zhì)量均為m，P粒子的初速度方向沿X軸負方向，速度大小為V，運動軌跡如圖中虛線所示．Q粒子初速度方向是在XOY平面內(nèi)所有可能的方向，Q點到O點的距離是P粒子軌道半徑的1.5倍，兩粒子所受重力不計．
（1）兩粒子帶的是正電還是負電？P粒子運動的軌道半徑R是多少？
（2）若兩粒子在Y軸上的A點相遇，則Q粒子的速度多大？
（3）若Q粒子的初速度方向豎直向下，則要使兩個粒子的軌跡沒有交點，Q粒子的速度大小怎樣？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子偏轉(zhuǎn)方向應(yīng)用左手定則可以判斷出粒子的電性，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑；
（2）根據(jù)粒子的周期公式求出兩粒子做圓周運動的周期關(guān)系，根據(jù)題意確定粒子在A點相遇的條件，然后由幾何知識求出Q的軌道半徑，然后求出粒子的速度；
（3）畫出軌跡，假設(shè)兩粒子相遇在Q點，由幾何關(guān)系有PQ=2R_Nsinθ，如圖，由數(shù)學(xué)知識求出兩個圓周運動半徑關(guān)系，得到速度關(guān)系，然后求出粒子的速度．

解答 解：（1）由題意可知，粒子P沿順時針方向做圓周運動，
粒子剛進入磁場時所受洛倫茲力豎直向上，由左手定則，粒子帶的是負電；
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{mv}{qB}$；
（2）若在A點相遇，則由題意可知：t_P=t_Q，
又從圖中可見P粒子到達A點的時間滿足：t_P=kT_P+$\frac{1}{2}$T_P，
（T_P為P粒子做圓周運動的周期，k=0、1、2…）   
所以：t_Q=kT_P+$\frac{1}{2}$T_P，
又由題兩粒子在磁場中做圓周運動的周期相同，即：T_P=T_Q，
所以：t_Q=kT_Q+$\frac{1}{2}$T_Q，
所以題圖中的AQ為Q粒子在磁場中做圓周運動的直徑，即：|AQ|=2R_Q=2$\frac{m{v}_{Q}}{qB}$，
又|AQ|=$\sqrt{（2{R}_{P}）^{2}+（1.5{R}_{P}）^{2}}$=2.5R_P=2.5$\frac{mv}{qB}$，則：v_Q=1.25v；
（3）由題意可知，要讓兩個粒子的軌跡不相交，粒子Q的速度可以取小一點，也可取大一點，
先討論取小一點的情況，如圖所示，當粒子Q的軌跡與P粒子的軌跡相切時，v_Q取極值，
由幾何知識得：（R+r）sinα+r=1.5R，（R+r）cosα=R，即：r=0.45R，所以：v_Q=0.45v，
再討論取大一點的情況，如圖所示，當粒子Q的軌跡與P粒子的軌跡相切時，v_Q也取極值，
由幾何知識得：R²+（r-1.5R）²=（r-R）²，解得：r=2.25R，v_Q=2.25v，
綜上，要使兩粒子軌跡不相交，Q粒子的速度為：0.45v或2.25v；
答：（1）兩粒子帶負電，P粒子運動的軌道半徑R是$\frac{mv}{qB}$；
（2）若兩粒子在Y軸上的A點相遇，則Q粒子的速度為1.25v；
（3）若Q粒子的初速度方向豎直向下，則要使兩個粒子的軌跡沒有交點，Q粒子的速度大小為0.45v或2.25v．

點評 本題是帶電粒子在磁場中圓周運動的問題，關(guān)鍵是運用數(shù)學(xué)知識分析兩個粒子之間運動周期和軌跡半徑的關(guān)系，考查運用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力．