Question

8．如圖所示為一傾角為θ的粗糙傳送帶，兩個(gè)輕質(zhì)彈簧之間有一質(zhì)量為m的光滑重物A，最下端掛一質(zhì)量為4m的重物B，兩彈簧的勁度系數(shù)分別為k₁、k₂（k₁=k，k₂=2k）．開(kāi)始時(shí)傳送帶靜止不動(dòng)，重物B不受傳送帶的摩擦力．現(xiàn)讓傳送帶開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蚓徛�地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，直至兩彈簧的總長(zhǎng)度等于兩彈簧的原長(zhǎng)之和時(shí)保持轉(zhuǎn)速恒定不變，彈簧始終在彈性限度范圍內(nèi)．求；
（1）當(dāng)傳送帶靜止不動(dòng)時(shí)兩彈簧各自伸長(zhǎng)了多少？
（2）當(dāng)傳送帶的轉(zhuǎn)速達(dá)到恒定不變時(shí)，A、B分別向上移動(dòng)了多大的距離？
（3）傳送帶和重物B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為多大？

Answer 1

分析 （1）分別對(duì)兩個(gè)物體減小受力分析，結(jié)合共點(diǎn)力平衡的條件即可求出；
（2）由題，兩彈簧的總長(zhǎng)等于兩彈簧的原長(zhǎng)之和，則知，k₁的伸長(zhǎng)量與k₂的壓縮量相等，由m₁重物平衡可求出k₁輕彈簧的形變量；先求出k₁原來(lái)的伸長(zhǎng)量，再由幾何關(guān)系求出m₁上移的距離；
（3）當(dāng)上面彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，對(duì)B物體受力分析，根據(jù)胡克定律和平衡條件列式求解．

解答 解：（1）傳送帶靜止不動(dòng)時(shí)，在沿斜面的方向上，有：
k₂x₂=m₂gsinθ    ①
所以：${x}_{2}=\frac{{m}_{2}gsinθ}{{k}_{2}}=\frac{4mgsinθ}{2k}=\frac{2mgsinθ}{k}$
k₂x₂+m₁gsinθ=k₁x₁ ②
所以：${x}_{1}=\frac{{m}_{1}gsinθ+{m}_{2}gsinθ}{{k}_{1}}=\frac{5mgsinθ}{k}$
（2）當(dāng)傳送帶向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)兩彈簧的總長(zhǎng)度等于兩彈簧原長(zhǎng)之和時(shí)，k₁的伸長(zhǎng)量與k₂的壓縮量相等，設(shè)為x，則對(duì)m₁有：
k₁x+k₂x=m₁gsinθ   ③
得：x=$\frac{{m}_{1}gsinθ}{{k}_{1}+{k}_{2}}=\frac{mgsinθ}{3k}$
又由于m₁向上的位移：d₁=x₁-x     ④
m₂向上的位移：d₂=x₂+x₁ ⑤
由①②③④⑤得：
$mjbub7y_{1}=\frac{14mgsinθ}{3k}$；$d6er0ew_{2}=\frac{7mgsinθ}{3k}$     ⑥
（3）當(dāng)重新平衡后，m₂受到的摩擦力的方向向上，彈簧的彈力的方向向下，對(duì)m₂有：
f=k₂x+m₂gsinθ     ⑦
又：f=μF_N=μm₂cosθ     ⑧
由⑦⑧得：μ=$\frac{7}{6}tanθ$
答：（1）當(dāng)傳送帶靜止不動(dòng)時(shí)兩彈簧各自伸長(zhǎng)了$\frac{5mgsinθ}{k}$和$\frac{2mgsinθ}{k}$；
（2）當(dāng)傳送帶的轉(zhuǎn)速達(dá)到恒定不變時(shí)，A、B分別向上移動(dòng)了$\frac{14mgsinθ}{3k}$和$\frac{7mgsinθ}{3k}$；
（3）傳送帶和重物B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為$\frac{7}{6}tanθ$．

點(diǎn)評(píng) 本題是平衡條件和胡克定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要受力分析，根據(jù)平衡條件列式，不難．