Question

8．如圖所示為一傾角為θ的粗糙傳送帶，兩個輕質彈簧之間有一質量為m的光滑重物A，最下端掛一質量為4m的重物B，兩彈簧的勁度系數(shù)分別為k₁、k₂（k₁=k，k₂=2k）．開始時傳送帶靜止不動，重物B不受傳送帶的摩擦力．現(xiàn)讓傳送帶開始沿順時針方向緩慢地加速轉動，直至兩彈簧的總長度等于兩彈簧的原長之和時保持轉速恒定不變，彈簧始終在彈性限度范圍內(nèi)．求；
（1）當傳送帶靜止不動時兩彈簧各自伸長了多少？
（2）當傳送帶的轉速達到恒定不變時，A、B分別向上移動了多大的距離？
（3）傳送帶和重物B之間的動摩擦因數(shù)μ為多大？

Answer 1

分析 （1）分別對兩個物體減小受力分析，結合共點力平衡的條件即可求出；
（2）由題，兩彈簧的總長等于兩彈簧的原長之和，則知，k₁的伸長量與k₂的壓縮量相等，由m₁重物平衡可求出k₁輕彈簧的形變量；先求出k₁原來的伸長量，再由幾何關系求出m₁上移的距離；
（3）當上面彈簧處于原長時，對B物體受力分析，根據(jù)胡克定律和平衡條件列式求解．

解答 解：（1）傳送帶靜止不動時，在沿斜面的方向上，有：
k₂x₂=m₂gsinθ    ①
所以：${x}_{2}=\frac{{m}_{2}gsinθ}{{k}_{2}}=\frac{4mgsinθ}{2k}=\frac{2mgsinθ}{k}$
k₂x₂+m₁gsinθ=k₁x₁ ②
所以：${x}_{1}=\frac{{m}_{1}gsinθ+{m}_{2}gsinθ}{{k}_{1}}=\frac{5mgsinθ}{k}$
（2）當傳送帶向上運動時，當兩彈簧的總長度等于兩彈簧原長之和時，k₁的伸長量與k₂的壓縮量相等，設為x，則對m₁有：
k₁x+k₂x=m₁gsinθ   ③
得：x=$\frac{{m}_{1}gsinθ}{{k}_{1}+{k}_{2}}=\frac{mgsinθ}{3k}$
又由于m₁向上的位移：d₁=x₁-x     ④
m₂向上的位移：d₂=x₂+x₁ ⑤
由①②③④⑤得：
$vpr9zxt_{1}=\frac{14mgsinθ}{3k}$；$xzvxz5e_{2}=\frac{7mgsinθ}{3k}$     ⑥
（3）當重新平衡后，m₂受到的摩擦力的方向向上，彈簧的彈力的方向向下，對m₂有：
f=k₂x+m₂gsinθ     ⑦
又：f=μF_N=μm₂cosθ     ⑧
由⑦⑧得：μ=$\frac{7}{6}tanθ$
答：（1）當傳送帶靜止不動時兩彈簧各自伸長了$\frac{5mgsinθ}{k}$和$\frac{2mgsinθ}{k}$；
（2）當傳送帶的轉速達到恒定不變時，A、B分別向上移動了$\frac{14mgsinθ}{3k}$和$\frac{7mgsinθ}{3k}$；
（3）傳送帶和重物B之間的動摩擦因數(shù)μ為$\frac{7}{6}tanθ$．

點評 本題是平衡條件和胡克定律的綜合應用，關鍵要受力分析，根據(jù)平衡條件列式，不難．