Question

9．如圖1所示，裝置BO′O可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細線AB水平，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°．（已知小球的質(zhì)量m=1kg，細線AC長L=1m，B點距C點的水平和豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₁時，細線AB上的張力為零而細線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{2}}$rad/s，求細線AC與豎直方向的夾角；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動，試通過計算在坐標圖2中畫出細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關系圖象．

Answer 1

分析 （1）細線AB上張力恰為零時小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）${ω_{2}}=\sqrt{\frac{50}{3}}{rad/s}$＞${ω_{1}}=\sqrt{\frac{50}{4}}{rad/s}$時，細線AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出細線AC與豎直方向的夾角．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出$ω≤{ω_{1}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}{rad/s}$時、ω₁≤ω≤ω₂時、ω＞ω₂時拉力的大小，從而確定細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關系，并作出圖象．

解答 解：（1）當細線AB上的張力為零而細線AC與豎直方向夾角仍為37°時，設裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω₁，小球受力如圖所示，

則有mgtanθ=$mω_1^2Lsinθ$
得ω₁=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$=$\sqrt{\frac{50}{4}}$rad/s=$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$rad/s
（2）當裝置轉(zhuǎn)動角速度變大，小球?qū)⑸弦疲�細線與豎直方向夾角變大，直到BA細線豎直，由幾何關系可知對應偏角α=53°．設此時細線AB張力為零時對應角速度為ω₀，則有mgtanα=$mω_0^2Lsinα$得ω₀=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s
由于ω₂=$\sqrt{\frac{50}{2}}$rad/s＞$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s，所以細線AC與豎直方向的夾角為α=53°．
（3）ω≤ω₁時，細線AC張力的水平分量提供向心力，豎直分量與小球重力平衡，即Tcosθ=mg得T=$\frac{50}{4}$Nω₁≤ω≤ω₀時，細線AB松弛，細線AC張力的水平分量提供向心力，即Tsinϕ=mω²Lsinϕ，得T=mω²Lω＞ω₀時，細線AB對小球有向下的力作用，但是仍然是細線AC張力的水平分量提供向心力，即Tsinα=mω²Lsinα，
得T=mω²L
綜上所述，ω≤ω₁時，T=$\frac{50}{4}$N=12.5N不變ω＞ω₁時，T=mω²L=ω²
所以，細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關系圖象如圖所示．
答：（1）角速度ω₁的大小為$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$．
（2）細線AC與豎直方向的夾角為53°．
（3）細線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關系圖象如圖．

點評 解決本題的關鍵理清小球做圓周運動的向心力來源，確定小球運動過程中的臨界狀態(tài)，運用牛頓第二定律進行求解．