Question

12．如圖所示，在真空中，半徑為b的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外（未畫出）．在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離為b，板長(zhǎng)為2b，兩板的中心線O₁O₂與磁場(chǎng)區(qū)域的圓心O在同一直線上，兩板左端與O₁在同一豎直線上．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子，以某一速度從圓周上的P點(diǎn)沿垂直于半徑并指向圓心OO₁的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)從圓周上的O₁點(diǎn)飛出磁場(chǎng)時(shí)，給M、N板加上如右圖所示的交變電壓．最后粒子剛好以平行于N板的速度從N板的邊緣飛出．（不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及粒子所受的重力）

（l）求帶電粒子的電性及進(jìn)入磁場(chǎng)P點(diǎn)時(shí)的速率v₀；
（2）求交變電壓的周期T和電壓U₀的值；
（3）若t=0時(shí)，將該粒子從MN板右側(cè)沿板的中心線O₂O₁，仍以原速率v₀射入M、N之間，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子的偏轉(zhuǎn)，通過(guò)左手定則確定粒子的電性，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑，結(jié)合半徑公式求出進(jìn)入磁場(chǎng)P點(diǎn)的速度．
（2）粒子在電場(chǎng)中，垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向受到周期性變化的電場(chǎng)力，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出周期和交變電壓的表達(dá)式．
（3）當(dāng)該粒子恰好從N板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)，且進(jìn)入磁場(chǎng)的速度仍為v₀，運(yùn)動(dòng)的半徑仍為b，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合周期公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）粒子自P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從O₁點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，則粒子必帶正電．
運(yùn)動(dòng)的半徑必為b，則$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}$，
解得${v}_{0}=\frac{Bbq}{m}$．
（2）粒子自O(shè)₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后恰好從N板的邊緣平行飛出，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
2b=v₀t，
$\frac{2}=n•2•\frac{1}{2}•\frac{q{U}_{0}}{mb}（\frac{T}{2}）^{2}$，
t=nT，（n=1，2，3…）
解得T=$\frac{2m}{nqB}$ （n=1，2，3，…）
${U}_{0}=\frac{Nq^{2}{B}^{2}}{2m}$（n=1，2，3，…）
（3）當(dāng)該粒子恰好從N板邊緣以平行于極板的速度射入磁場(chǎng)，且進(jìn)入磁場(chǎng)的速度仍為v₀，運(yùn)動(dòng)的半徑仍為b，設(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)的點(diǎn)為Q，離開磁場(chǎng)的點(diǎn)為R，圓心為O₃，如圖所示，四邊形OQO₃R是菱形，故$∠Q{O}_{3}R=\frac{2π}{3}$．
則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{3qB}$．
答：（1）帶電粒子的電性及進(jìn)入磁場(chǎng)P點(diǎn)時(shí)的速率為$\frac{Bbq}{m}$；
（2）交變電壓的周期T和電壓U₀的值為${U}_{0}=\frac{Nq^{2}{B}^{2}}{2m}$（n=1，2，3，…）
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{2πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 考查粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握處理類平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，理解牛頓第二定律與幾何關(guān)系在題中的應(yīng)用．