Question

13．“天宮一號“是我國自主研發(fā)的目標飛行器，是中國空間實驗室的雛形.2013年6月，“神舟十號”與“太空一號”成功對接，6月20日3位航天員為全國中學生上了一節(jié)生動的物理課．現已知“太空一號”飛行器距離地球表面高度為h，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，假設“天宮一號”環(huán)繞地球做勻速圓周運動，萬有引力常量為G．求：
（1）地球的質量M；
（2）地球的第一宇宙速度v；
（3）“天宮一號”的運行周期T．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力與萬有引力相等，據此由地球半徑和表面的重力加速度和萬有引力常量求得地球的質量；
（2）第一宇宙速度就是繞地球表面運行的衛(wèi)星的線速度，由萬有引力提供圓周運動向心力求得；
（3）根據萬有引力提供圓周運動向心力求得天宮一號的周期．

解答 解：（1）在地球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球的質量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星運行的速度，根據萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$
（3）天宮一號的軌道半徑r=R+h
據萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
代入M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$可得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）地球的質量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）地球的第一宇宙速度v為$\sqrt{gR}$；
（3）“天宮一號”的運行周期T為$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

點評 萬有引力應用問題主要從以下兩點入手：一是星表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供圓周運動向心力．