Question

9．我國(guó)將于2022 年舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，跳臺(tái)滑雪是其中最具觀賞性的項(xiàng)目之一．當(dāng)滑雪板相對(duì)雪地速度較小時(shí)，滑雪板與雪地間的摩擦力較大，當(dāng)滑雪板相對(duì)雪地速度較大時(shí)，滑雪板會(huì)把雪內(nèi)的空氣逼出來(lái)，在滑雪板與雪地間形成一個(gè)暫時(shí)的“氣墊”，從而大大減小雪地對(duì)滑雪板的摩擦．假設(shè)滑雪者的速度超過(guò)4m/s 時(shí)，滑雪板與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)就會(huì)由μ₁=0.25 變?yōu)棣?SUB>2=0.125．如圖所示，一運(yùn)動(dòng)員從傾角θ=37°的長(zhǎng)直助滑道AB 的A 處由靜止開(kāi)始自由下滑，滑至末端B 后沿切線進(jìn)入一半徑為R=21m 的豎直光滑圓弧軌道BC，并從最低點(diǎn)C 沿水平方向飛出，最后落在水平地面上的D 點(diǎn)．不計(jì)空氣阻力，AB 長(zhǎng)度s=40.4m，C 與D 點(diǎn)的高度差h=3.2m，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B 時(shí)的速率；
（2）D 點(diǎn)與C 點(diǎn)的水平距離．

Answer 1

分析 （1）分別求得運(yùn)動(dòng)員速度在4m/s前后的合外力，進(jìn)而由牛頓第二定律求得加速度，然后根據(jù)勻變速規(guī)律通過(guò)總位移為s求得末速度；
（2）通過(guò)BC段運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒求得在C點(diǎn)的速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解水平位移．

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)員在速度v＜4m/s時(shí)合外力F₁=mgsinθ-μ₁mgcosθ，故加速度${a}_{1}=\frac{{F}_{1}}{m}=gsinθ-{μ}_{1}gcosθ=4m/{s}^{2}$；
所以，運(yùn)動(dòng)員下滑${t}_{1}=\frac{4m/s}{{a}_{1}}=1s$，位移${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=2m$后達(dá)到v₀=4m/s；
之后，運(yùn)動(dòng)員的合外力F₂=mgsinθ-μ₂mgcosθ，故加速度${a}_{2}=\frac{{F}_{2}}{m}=gsinθ-{μ}_{2}gcosθ=5m/{s}^{2}$；
故由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：$s-{s}_{1}={v}_{0}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$，所以，t₂=3.2s，那么，運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B 時(shí)的速率v_B=v₀+a₂t₂=20m/s；
（2）運(yùn)動(dòng)員在BC上運(yùn)動(dòng)只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mgR（1-cosθ）$，所以，${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+2gR（1-cosθ）}=22m/s$；
那么，運(yùn)動(dòng)員從C到D做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)D 點(diǎn)與C 點(diǎn)的水平距離為x，故有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x={v}_{C}t={v}_{C}\sqrt{\frac{2h}{g}}=17.6m$；
答：（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B 時(shí)的速率為20m/s；
（2）D 點(diǎn)與C 點(diǎn)的水平距離為17.6m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．