Question

1．如圖所示為“嫦娥三號”探測器在月球上著陸最后階段的示意圖．首先在發(fā)動機作用下，探測器受到推力在距月面高度為h₁處懸停（速度為0，h₁遠小于月球半徑），接著推力改變，探測器開始豎直勻加速下降（加速度小于月球表面的重力加速度），到達距月面高度為h₂處的速度為v，此后發(fā)動機關閉，探測器僅受重力下落到月面．已知探測器總質量為m（不計燃料的質量），地球和月球的半徑比為k₁，質量比為k₂，地球表面的重力加速度為g，求
（1）月球表面附近的重力加速度g₁的大�。�
（2）改變推力后的推力F的大��；
（3）探測器剛接觸月球時的速度v₁的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)星球表面重力等于萬有引力求解重力加速度；
（2）根據(jù)速度位移關系公式以及牛頓第二定律即可求出推力；
（3）由運動學的公式求解探測器剛接觸月球時的速度大��；

解答 解：（1）設地球質量和半徑分別為M和R，月球的質量、半徑和表面的重力加速度分別為M′、R′和g′，探測器剛接觸月球表面時的速度大小為v₁；
由mg′=G$\frac{M′m}{R{′}^{2}}$和mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
得：g′=$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}^{\;}}g$
（2）改變推力后，由牛頓第二定律得：
mg₁-F=ma    
有：v²=2a（h₁-h₂）
聯(lián)立得：F=$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}}mg-\frac{m{v}^{2}}{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}$
（3）由勻變速直線運動的規(guī)律可知：${v}_{1}^{2}-{v}^{2}=2{g}_{1}{h}_{2}$
解得：v₁=$\sqrt{{v}^{2}+\frac{2{k}_{1}^{2}g{h}_{2}}{{k}_{2}}}$；
答：（1）月球表面附近的重力加速度g₁的大小是$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}^{\;}}g$；
（2）改變推力后的推力F的大小是$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}}mg-\frac{m{v}^{2}}{2（{h}_{1}-{h}_{2}）}$；
（3）探測器剛接觸月球時的速度v₁的大小是$\sqrt{{v}^{2}+\frac{2{k}_{1}^{2}g{h}_{2}}{{k}_{2}}}$．

點評 本題關鍵是明確探測器的受力情況和運動情況，然后根據(jù)運動學公式和萬有引力定律列方程求解，不難．