Question

3．如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，A放在水平地面上；B、C兩物體通過一不可伸長的細繩繞過輕質定滑輪相連，C放在固定的傾角為30°斜面上，C物體與斜面的滑動摩擦因數為μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．用手拿住物體C，使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證ab段的細線豎直、cd段的細線與斜面平行．已知A、B的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)．釋放C后它沿斜面下滑，斜面足夠長，A剛離開地面時，B獲得最大速度，求：
（1）從釋放C到物體A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離；
（2）C物體的質量是B物體質量的多少倍？
（3）B的最大速度v_Bm．

Answer 1

分析 （1）A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離應該等于彈簧原來被壓縮的長度再加上后來彈簧被拉長的長度，被壓縮和被拉長的長度可以根據胡克定律求得；
（2）B獲得最大速度時，B應該處于受力平衡狀態(tài)，對B受力分析C和B的質量大小關系；
（3）對于整個系統(tǒng)機械能守恒，根據機械能守恒列出方程就可以求得B的最大速度．

解答 解：（1）設開始時彈簧壓縮的長度為x_B得：kx_B=mg  
設當物體A剛剛離開地面時，彈簧的伸長量為x_A，得：kx_A=mg    
當物體A剛離開地面時，物體B上升的距離以及物體C沿斜面下滑的距離為：s=x_A+x_B=$\frac{2mg}{k}$
（2）物體A剛剛離開地面時，以B為研究對象，物體B受到重力mg、彈簧的彈力kx_A、細線的拉力T三個力的作用，設C的質量為M，物體B的加速度為a，根據牛頓第二定律，對B有：T-mg-kx_A=ma
對C有：Mgsin30°-F_f-T=Ma
F_f=μF_N
F_N=Mgcos30°
由上述公式整理得得：Mgsinα-2mg-μMgcosα=（M+m）a
當B獲得最大速度時，有：a=0
由以式子可解得M=8m
（3）由于x_A=x_B，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長狀態(tài)時的彈性勢能相等，彈簧彈力做功為零，且物體A剛剛離開地面時，B、C兩物體的速度相等，設為v_Bm，
對于B由動能定理得$（T-mg）h=\frac{1}{2}m{v}_{Bm}^{2}$
對于C由動能定理得$（Mgsin30°-{F}_{f}-T）h=\frac{1}{2}M{v}_{Bm}^{2}$
整理得Mgsin30°•h-mgh-μMgcos30°•h=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{Bm}^{2}$
由以上式子，可解得：${v}_{Bm}=\frac{2}{3}g\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：（1）從釋放C到物體A剛離開地面時，物體C沿斜面下滑的距離為$\frac{2mg}{k}$；
（2）C物體的質量是B物體質量的8倍；
（3）B的最大速度v_Bm為$\frac{2}{3}g\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點評 對于機械能守恒定律，有多個表達式，可以用初態(tài)的機械能等于末態(tài)的機械能，也可以用動能的增加等于勢能的減少，對于第一種表達式要選取零勢能面，第二種由于用的它們的差值的大小，所以不用取零勢能面，在解題時要注意公式的選擇．