Question

8．如圖，光滑水平直軌道上有三個(gè)質(zhì)量均為m的物塊A、B、C．B的左側(cè)固定一輕彈簧（彈簧左側(cè)的擋板質(zhì)量不計(jì)）．設(shè)A以速度v₀朝B運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧；當(dāng)AB速度相等時(shí)，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，假設(shè)B和C碰撞過(guò)程時(shí)間極短．求從A開始?jí)嚎s彈簧直至與彈簧分離的過(guò)程中，
（1）整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
（2）彈簧被壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)與第一次AB速度相等時(shí)的彈性勢(shì)能之比．

Answer 1

分析 （1）碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律可以求出速度．應(yīng)用能量守恒定律可以求出損失的機(jī)械能．
（2）系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出速度，然后應(yīng)用能量守恒定律可以求出彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度v₁時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=2mv₁，
所以：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
設(shè)碰撞后瞬間B與C的速度為v₂，向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₁=2mv₂，
解得：v₂=$\frac{{v}_{0}}{4}$；
設(shè)B與C碰撞損失的機(jī)械能為△E．由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₁²=△E+$\frac{1}{2}$•2mv₂²，
聯(lián)立得整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：△E=$\frac{1}{16}$mv₀²；
（2）第一次AB速度相等時(shí)的彈性勢(shì)能：${E}_{P1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}•2m•{v}_{1}^{2}$=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4}$
由于v₂＜v₁，A將繼續(xù)壓縮彈簧，直至A、B、C三者速度相同，
設(shè)此時(shí)速度為v₃，彈簧被壓縮至最短，其彈性勢(shì)能為E_p2，以向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=3mv₃，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²-△E=$\frac{1}{2}$•3mv₃²+E_P2，
解得：E_P2=$\frac{13}{48}$mv₀²；
所以：$\frac{{E}_{P2}}{{E}_{P1}}=\frac{\frac{13}{48}}{\frac{1}{4}}=\frac{13}{12}$
答：（1）整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為$\frac{1}{16}$mv₀²；
（2）彈簧被壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)與第一次AB速度相等時(shí)的彈性勢(shì)能之比是$\frac{13}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵合理地選擇研究的系統(tǒng)，運(yùn)用動(dòng)量守恒進(jìn)行求解．