Question

2．為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為θ=60°，長為L₁=2$\sqrt{3}$m的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與長為L₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m的水平軌道BC相連，然后在C處設(shè)計(jì)一個(gè)豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道上D處，如圖所示．現(xiàn)將一個(gè)小球從距A點(diǎn)高為h=0.9m的水平臺(tái)面上以一定的初速度v₀水平彈出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知小球與AB和BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．g取10m/s²，求：
（1）小球初速度v₀的大��；
（2）小球滑過C點(diǎn)時(shí)的速率v_C；
（3）要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）釋放彈簧后彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能．先根據(jù)小球從離開彈簧到A平拋運(yùn)動(dòng)過程，求出小球到A點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由速度的分解求出到初速度．
（2）小球運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，列出公式即可求出C點(diǎn)的速度；
（3）要使小球不離開軌道，有兩種情況：第一種情況：是恰好過豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，先由牛頓第二定律和向心力知識(shí)求出到最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求解軌道半徑．第二種情況：小球恰好到豎直圓軌道最右端，由動(dòng)能定理求解軌道半徑．

解答 解：（1）小球開始時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)：v_y²=2gh
代入數(shù)據(jù)解得：v_y=$\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.9}=3\sqrt{2}$m/s
A點(diǎn)：tan60°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
得：v_x=v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan60°}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}m/s=\sqrt{6}$m/s
（2）從水平拋出到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得：
$mg（h+{L}_{1}sinθ）-μmg{L}_{1}cosθ-μmg{L}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{C}=3\sqrt{6}$m/s
（3）小球剛剛過最高點(diǎn)時(shí)，重力提供向心力，則：$mg=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}=2mg{R}_{1}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得R₁=1.08 m
當(dāng)小球剛能到達(dá)與圓心等高時(shí)$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=mgR₂
代入數(shù)據(jù)解得R₂=2.7 m
當(dāng)圓軌道與AB相切時(shí)R₃=BC•tan 60°=1.5 m
即圓軌道的半徑不能超過1.5 m
綜上所述，要使小球不離開軌道，R應(yīng)該滿足的條件是
0＜R≤1.08 m．（2分）
答：（1）小球初速度v₀的大小是$\sqrt{6}$ m/s�。�2）小球滑過C點(diǎn)時(shí)的速率是3$\sqrt{6}$ m/s　（3）要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足0＜R≤1.08 m

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力電綜合題，明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程是解決問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題．要注意小球運(yùn)動(dòng)過程中各個(gè)物理量的變化．