Question

4．一根足夠長的空心銅管豎直放置，使一枚直徑略小于銅管內(nèi)徑、質(zhì)量為m₀的圓柱形強磁鐵從管內(nèi)某處由靜止開始下落，如圖1所示，它不會做自由落體運動，而是非常緩慢地穿過銅管，在銅管內(nèi)下落時的最大速度為v₀．強磁鐵在管內(nèi)運動時，不與銅管內(nèi)壁發(fā)生摩擦，空氣阻力也可以忽略．產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是變化的磁場在銅管內(nèi)激發(fā)出了渦流，渦流反過來又對強磁鐵產(chǎn)生了很大的阻力．雖然該情景中渦流的定量計算非常復雜，我們不需要求解，卻仍然可以用我們學過的知識來對下述問題進行分析．
（1）求圖1中的強磁鐵達到最大速度后銅管的熱功率P₀；
（2）強磁鐵下落過程中，可以認為銅管中的感應電動勢大小與強磁鐵下落的速度成正比，且強磁鐵周圍銅管的有效電阻是恒定的．由此分析，如果在圖甲中強磁鐵的上面粘一個質(zhì)量為m₁的絕緣橡膠塊，則強磁鐵下落的最大速度v₁是多大？
（3）若已知強磁鐵下落過程中的任一時刻，強磁鐵機械能耗散的功率等于其受到的阻力大小與下落速度大小的乘積．則在圖1中，質(zhì)量為m₀的強磁鐵從靜止下落，經(jīng)過時間t后達到最大速度v₀，求此過程強磁鐵的下落高度h；
（4）若將空心銅管切開一條豎直狹縫，如圖2所示，強磁鐵還從管內(nèi)某處由靜止開始下落，發(fā)現(xiàn)強磁鐵的下落還是會明顯慢于自由落體運動，請你分析這一現(xiàn)象的原因．

Answer 1

分析 （1）強磁鐵達到最大速度強磁鐵減小的重力勢能轉(zhuǎn)化為銅管的熱功率，由此即可求出；
（2）由題，銅管中的感應電動勢大小與強磁鐵下落的速度成正比結(jié)合電熱的公式：P=$\frac{{E}^{2}}{R}$電場熱功率與速度的關系，然后結(jié)合（1）得出的速度與熱功率的表達式即可求出強磁鐵下落的最大速度v₁；
（3）根據(jù)強磁鐵機械能耗散的功率等于其受到的阻力大小與下落速度大小的乘積．由動量定理得出最大速度v₀的表達式，然后結(jié)合動能定理即可求出此過程強磁鐵的下落高度h；
（4）結(jié)合渦流分析這一現(xiàn)象的原因．

解答 解：（1）磁鐵勻速下落過程中，可以認為減少的重力勢能全部轉(zhuǎn)化為熱，則：
P₀ t=m₀ gv₀ t        
代入數(shù)據(jù)可得：P₀=m₀gv₀
（2）由于強磁鐵下落過程中銅管中的感應電動勢大小 E 與磁鐵下落的速度 v 成正比，且其周圍 銅管的有效電阻 R 是恒定的，可知任一時刻的熱功率：
$P=\frac{E^2}{R}$…①
   則：P∝v²
由（1）可得，強磁鐵下落過程中P=mgv…②
可得：$\frac{P_0}{P_1}=\frac{{{m_0}g{v_0}}}{{（{m_0}+{m_1}）g{v_1}}}=\frac{v_0^2}{v_1^2}$…③
所以有：${v_1}=\frac{{{m_0}+{m_1}}}{m_0}{v_0}$
（3）設強磁鐵下落過程中的很短時間△t 內(nèi)所受電磁阻力大小為 f，根據(jù)動量定理有：
m₀g△t-f△t=m₀△v…④
又有：$P=fv=\frac{E^2}{R}$…⑤
所以有：f∝v
設f=kv，其中 k 為常量⑥強磁鐵勻速下落時：m₀g=kv₀…⑦
由④⑥⑦式，有${m_0}g△t-\frac{{{m_0}g}}{v_0}v•△t={m_0}△v$…⑧
對于全過程有：${m_0}gt-\frac{{{m_0}g}}{v_0}h={m_0}{v_0}$…⑨
得：$h={v_0}t-\frac{v_0^2}{g}$
（4）因為此時銅管中仍然會產(chǎn)生渦流，渦流的磁場對強磁鐵有阻力作用． 
答：（1）圖1中的強磁鐵達到最大速度后銅管的熱功率是m₀gv₀；
（2）強磁鐵下落的最大速度v₁是$\frac{{m}_{0}+{m}_{1}}{{m}_{0}}{v}_{0}$；
（3）此過程強磁鐵的下落高度h是${v}_{0}t-\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$；
（4）因為此時銅管中仍然會產(chǎn)生渦流，渦流的磁場對強磁鐵有阻力作用．

點評 該題屬于信息給予的題目，在解答的過程中要注意理解題目中給出的電動勢與下落的速度成正比等條件，正確進行列式．