Question

如圖所示,豎直平面內(nèi)有一半徑為r、內(nèi)阻為R₁、粗細(xì)均勻的光滑半圓形金屬環(huán),在M、N處與相距為2r、電阻不計(jì)的平行光滑金屬軌道ME、NF相接,EF之間接有電阻R₂,已知R₁=12R,R₂=4R.在MN上方及CD下方有水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B現(xiàn)有質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒ab,從半圓環(huán)的最高點(diǎn)A處由靜止下落,在下落過(guò)程中導(dǎo)體棒始終保持水平,與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好,兩平行軌道足夠長(zhǎng).已知導(dǎo)體棒ab下落r/2時(shí)的速度大小為v₁,下落到MN處的速度大小為v₂.

(1)求導(dǎo)體棒ab從A下落r/2時(shí)的加速度大小.

(2)若導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ后棒中電流大小始終不變,求磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ之間的距離h和R₂上的電功率P₂.

(3)若將磁場(chǎng)Ⅱ的CD邊界略微下移,導(dǎo)體棒ab剛進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)速度大小為v₃,要使其在外力F作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度大小為a,求所加外力F隨時(shí)間變化的關(guān)系式.

Answer 1

解析：(1)g-  (2)

(3)F=+ma-mg

解：(1)以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象,棒在磁場(chǎng)Ⅰ中切割磁感線,棒中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),導(dǎo)體棒ab從A下落r/2時(shí),導(dǎo)體棒在重力與安培力作用下做加速運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律,得

mg-BIl=ma,式中l(wèi)=r

I=式中R_總==4R

由以上各式可得到a=g.

(2)當(dāng)導(dǎo)體棒ab通過(guò)磁場(chǎng)Ⅱ時(shí),若安培力恰好等于重力,棒中電流大小始終不變,即

mg=BI×2r=B×

式中R_并==3R

解得v_t=

導(dǎo)體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng),有

v_t²-v₂²=2gh

得h=

此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率為

P_G=mgv_t=

根據(jù)能量守恒定律,此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率全部轉(zhuǎn)化為電路中的電功率,即

P_電=P₁+P₂=P_G=

又由U₁=U₂,R₁=3R₂可知P₂=3P₁,

所以P₂=P_G=.

(3)設(shè)導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ后經(jīng)過(guò)時(shí)間t的速度大小為v_t′,此時(shí)安培力大小為

F′=

由于導(dǎo)體棒ab做勻加速直線運(yùn)動(dòng),有v_t′=v₃₊at

根據(jù)牛頓第二定律,有

F+mg-F′=ma

即F+mg-=ma

由以上各式解得F=(at+v₃)-m(g-a)=t++ma-mg.